Обьем замкнутой поверхности

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники!
Прошу подтвердить или опровергнуть мою гипотезу вычисления объема ограниченного замкнутой поверхностью и заданной формулой в сферической системе координат.

Рассматривается стандартная сферическая система координат, задана формула замкнутой поверхности $R(r;\theta;\phi)$, где $0\leqslant r$, $0\leqslant\theta\leqslant\pi$, $0\leqslant\phi<2\pi$ и начало координат находится внутри замкнутой поверхности.
Объем фигуры $V$, ограниченной замкнутой поверхностью, можно вычислить по формуле:

$V=\frac13\int_0^{2\pi}\int_0^\pi{R^3\sin\theta} d\theta d\phi$

Строго вывести формулу пока не получается.

[svv]

Правильно.

Побережный Александр в сообщении #1029684 писал(а):

начало координат находится внутри замкнутой поверхности

Чтобы получилась Ваша формула, надо ещё, чтобы область, ограниченная поверхностью, была звёздной относительно начала координат.

Побережный Александр в сообщении #1029684 писал(а):

задана формула замкнутой поверхности $R(r;\theta;\phi)$, где $0\leqslant r$

Если поверхность, то просто $r=R(\theta, \varphi)$, где $\theta, \varphi$ — как Вы написали.
Если же Вы имели в виду функцию, заданную неявно: $F(r,\theta,\varphi)=0$, такая простая формула не получится.

Побережный Александр в сообщении #1029684 писал(а):

Строго вывести формулу пока не получается.

Если все условия выполнены, то
$V=\int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^{\pi} \sin\theta\;d\theta \int\limits_0^{R(\theta,\varphi)}r^2\;dr$
Берёте внутренний интеграл, и всё.

[Побережный Александр]

Большое спасибо за полезные замечания!