Запутался в комбинаторике

[2old]

Бросают $n$ игральных костей. Результат -- $n$ чисел от 1 до 6. Сколько может получиться различных результатов, если результаты, отличающиеся друг от друга лишь порядком очков, считаются одинаковыми?

Кидаем кости, на них что-то выпадет и разбиваем их на классы в соотвествии с тем, что выпало: $6-1 \choose n+6-1$.
Но еще я думал как: пусть все кости различны, тогда число исходов $6^n$. Теперь вспомним, что они одинаковые и получим $\frac{6^n}{n!}$

Где я ошибаюсь?

[provincialka]

А что такое здесь $n!$? Количество чего, каких повторов? У вас ведь не $n$ разных объектов, а только 6. Или даже меньше!

[Otta]

2old в сообщении #1028906 писал(а):

Где я ошибаюсь?

Везде.

Какие результаты считаются одинаковыми, давайте с этого начнем.

[Evgenjy]

Если к количеству выпавших единиц прибавить количество выпавших двоек и т. д. прибавить количество выпавших шестерок, то сколько получится в сумме?

[2old]

Otta
Совсем везде я точно не ошибаюсь, рассуждения с сочетаниями с повторениями верное. Результаты считаются одинаковыми, если для каждого из чисел $1\dots 6$ количество выпавших костей с таким результатом совпадает. Короче исход броска костей это мультимножество.

provincialka
$n!$ это потому что количество костей $n$. Ну т.е. я перенумеровал кости, теперь результат броска это слово длинной $n$, на каждой позиции возможно любой из $6$ исходов. Количество таких слов получается $6^n$. Ну и теперь я вспоминаю, что порядок в каждом слове для меня не важен, поэтому надо еще разделить на $n!$. Видимо здесь и есть провал, потому что нужно делить не на $n!$, а на $k_{1}!\dots k_{6}!$, где $\sum\limits_{i=1}^{6}k_i = n$

Evgenjy
$\sum\limits_{i=1}^{6}k_i\cdot i$, где $k_i$ число выпавших костей с $i\in {1\dots 6}$

[Otta]

2old в сообщении #1028924 писал(а):

Совсем везде я точно не ошибаюсь, рассуждения с сочетаниями с повторениями верное.

Тем не менее.

2old в сообщении #1028924 писал(а):

Результаты считаются одинаковыми, если для каждого из чисел $1\dots 6$ количество выпавших костей с таким результатом совпадает.

Нет чтобы по-русски сказать. Ну давайте скажем, а?
Результаты считаются одинаковыми, когда выпадает равное количество $k_1$ единиц, равное $k_2$ - двоек, равное - троек и т.д. Различаются же различные наборы $(k_1,\ldots,k_6)$. Они связаны, как Вы заметили, соотношением $\sum\limits_{i=1}^{6}k_i = n$.

Таким образом, задача сводится к такой: сколькими способами можно решить в целых числах уравнение $\sum\limits_{i=1}^{6}k_i = n$. Именно на это намекал Evgenjy. Он не про сумму очков спрашивал.

[2old]

Otta
Ну это и получится $n+6-1 \choose 6-1$. Я просто привык больше через "цэшки", поэтому перепутал местами
Мне просто хотелось понять, как от $6^n$ дойти до такого ответа...

[Otta]

А, дык это. Я ж на них давно как на китайские иероглифы смотрю, если картинка сразу не распозналась, то все. )
Да, правда Ваша. )) Проглядела.

[2old]

Кажется можно дойти через формулу включений-исключений...Но делать это полезное упражнение не хочется)))