В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?

[ellipse]

Как доказать, что в десятичной записи числа пи можно встретить любую подпоследовательность цифр?

[arseniiv]

Неизвестно, верно ли это вообще, если говорить точно.

См., например, http://math.stackexchange.com/questions/216343/does-pi-contain-all-possible-number-combinations, и вообще результаты поиска (google) is pi normal.

[grizzly]

ellipse в сообщении #1028588 писал(а):

Как доказать, что в десятичной записи числа пи можно встретить любую подпоследовательность цифр?

Доказать это нельзя, но опровергнуть просто (это если Вам известен факт о трансцендентности числа $\pi $). Подсказка: предположите от противного, что в десятичной записи числа $\pi $ можно встретить, например, последовательность цифр A002193.

Возможно, Вы хотели спросить о "любом конечном наборе цифр"? Тогда Вам уже ответили выше :)

[ellipse]

grizzly, конечно, имеется ввиду конечная последовательность.

Значит эта байка, что в записи можно встретить, например, все номера телефонов, любые закодированные тексты, неверная?

Цитата:

Профессор кафедры математического и функционального анализа Южно-Уральского государственного университета Владимир Заляпин говорит.
...
По словам профессора математики, в 1767 году Ламберт установил иррациональность числа Пи, то есть невозможность представить его отношением двух целых. Это означает, что последовательность десятичных знаков числа Пи — это хаос, овеществлённый в цифрах. Иными словами, в «хвосте» десятичных знаков содержится любое число, любая последовательность чисел, любые тексты, которые были, есть и будут, да только извлечь эту информацию не представляется возможным!
http://www.aif.ru/society/education/1466706

Это утверждение эквивалентно нормальности числа? Если да, то почему?

[arseniiv]

Неверная. Первая моя ссылка как раз на вопрос, начинающийся с аналогичной в ошибках байки: одной иррациональности ещё недостаточно (кроме того, иррациональных чисел пруд пруди, и $\pi$ среди них никак не выделено). Примеры иррациональных не нормальных в системе счисления с данным основанием чисел строятся довольно просто, и всего одного из них достаточно для контрпримера.

Что здесь верно указано — так это то, что от повторения всех возможных подпоследовательностей в общем случае нет никакого толку.

-- Чт июн 18, 2015 20:57:12 --

arseniiv в сообщении #1028614 писал(а):

Примеры

Не могу удержаться. Выбираем любое основание, дальше

$$0{,}1010010001000010000010000001000000010000000010\ldots$$

-- Чт июн 18, 2015 20:57:44 --

ellipse в сообщении #1028608 писал(а):

Это утверждение эквивалентно нормальности числа? Если да, то почему?

Как ни странно, по определению.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1028614 писал(а):

ellipse в сообщении #1028608 писал(а):

Это утверждение эквивалентно нормальности числа? Если да, то почему?

Как ни странно, по определению.

Слишком странно. В одну сторону это совершенно очевидно. В другую сторону нет. Или это я что-то неправильно понял?

Уточню. Я утверждаю, что очень просто построить пример не нормального числа, в котором любая конечная комбинация цифр встретится бесконечное число раз.

[ellipse]

arseniiv в сообщении #1028614 писал(а):

Как ни странно, по определению.

Определение такое:
Нормальное число по основанию $n$ ($n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2$) — всякое действительное число, в записи которого в $n$-ричной системе счисления каждая группа из $k$ последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной $n^{-k}$ для каждого $k = 1, 2, …$.

Подмножество $A$ положительных чисел имеет асимптотическую плотность $\alpha$, где $0 \le \alpha \le 1$, если предел отношения числа элементов $A$, не превосходящих $n$, к $n$ при при $n \to \infty$ существует и равен $\alpha$.

Как из этого строго доказать?

[arseniiv]

А, беру свои слова назад. Чего-то мимо глаз прошла одинаковая асимптотическая частота. В одну из сторон действительно много очевиднее, чем в другую.

[Sonic86]

ellipse в сообщении #1028608 писал(а):

Значит эта байка, что в записи можно встретить, например, все номера телефонов, любые закодированные тексты, неверная?

Уточню: байка верная, а то, что у Вас написано в цитате - неверно. Попытаться проверить нормальность числа $\pi$ Вы можете сами эмпирическим путем.

[ET]

Совсем недавняя такая же тема:
topic90460.html