2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 18:12 


25/11/08
449
Как доказать, что в десятичной записи числа пи можно встретить любую подпоследовательность цифр?

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 18:23 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Неизвестно, верно ли это вообще, если говорить точно.

См., например, http://math.stackexchange.com/questions/216343/does-pi-contain-all-possible-number-combinations, и вообще результаты поиска (google) is pi normal.

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
ellipse в сообщении #1028588 писал(а):
Как доказать, что в десятичной записи числа пи можно встретить любую подпоследовательность цифр?

Доказать это нельзя, но опровергнуть просто (это если Вам известен факт о трансцендентности числа $\pi $). Подсказка: предположите от противного, что в десятичной записи числа $\pi $ можно встретить, например, последовательность цифр A002193.

Возможно, Вы хотели спросить о "любом конечном наборе цифр"? Тогда Вам уже ответили выше :)

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 18:50 


25/11/08
449
grizzly, конечно, имеется ввиду конечная последовательность.

Значит эта байка, что в записи можно встретить, например, все номера телефонов, любые закодированные тексты, неверная?
Цитата:
Профессор кафедры математического и функционального анализа Южно-Уральского государственного университета Владимир Заляпин говорит.
...
По словам профессора математики, в 1767 году Ламберт установил иррациональность числа Пи, то есть невозможность представить его отношением двух целых. Это означает, что последовательность десятичных знаков числа Пи — это хаос, овеществлённый в цифрах. Иными словами, в «хвосте» десятичных знаков содержится любое число, любая последовательность чисел, любые тексты, которые были, есть и будут, да только извлечь эту информацию не представляется возможным!
http://www.aif.ru/society/education/1466706


Это утверждение эквивалентно нормальности числа? Если да, то почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 18:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Неверная. Первая моя ссылка как раз на вопрос, начинающийся с аналогичной в ошибках байки: одной иррациональности ещё недостаточно (кроме того, иррациональных чисел пруд пруди, и $\pi$ среди них никак не выделено). Примеры иррациональных не нормальных в системе счисления с данным основанием чисел строятся довольно просто, и всего одного из них достаточно для контрпримера.

Что здесь верно указано — так это то, что от повторения всех возможных подпоследовательностей в общем случае нет никакого толку.

-- Чт июн 18, 2015 20:57:12 --

arseniiv в сообщении #1028614 писал(а):
Примеры
Не могу удержаться. Выбираем любое основание, дальше
$$0{,}1010010001000010000010000001000000010000000010\ldots$$

-- Чт июн 18, 2015 20:57:44 --

ellipse в сообщении #1028608 писал(а):
Это утверждение эквивалентно нормальности числа? Если да, то почему?
Как ни странно, по определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
arseniiv в сообщении #1028614 писал(а):
ellipse в сообщении #1028608 писал(а):
Это утверждение эквивалентно нормальности числа? Если да, то почему?
Как ни странно, по определению.

Слишком странно. В одну сторону это совершенно очевидно. В другую сторону нет. Или это я что-то неправильно понял?

Уточню. Я утверждаю, что очень просто построить пример не нормального числа, в котором любая конечная комбинация цифр встретится бесконечное число раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 19:11 


25/11/08
449
arseniiv в сообщении #1028614 писал(а):
Как ни странно, по определению.

Определение такое:
Нормальное число по основанию $n$ ($n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2$) — всякое действительное число, в записи которого в $n$-ричной системе счисления каждая группа из $k$ последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной $n^{-k}$ для каждого $k = 1, 2, …$.

Подмножество $A$ положительных чисел имеет асимптотическую плотность $\alpha$, где $0 \le \alpha \le 1$, если предел отношения числа элементов $A$, не превосходящих $n$, к $n$ при при $n \to \infty$ существует и равен $\alpha$.

Как из этого строго доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 19:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А, беру свои слова назад. Чего-то мимо глаз прошла одинаковая асимптотическая частота. :facepalm: В одну из сторон действительно много очевиднее, чем в другую.

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение18.06.2015, 19:23 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ellipse в сообщении #1028608 писал(а):
Значит эта байка, что в записи можно встретить, например, все номера телефонов, любые закодированные тексты, неверная?
Уточню: байка верная, а то, что у Вас написано в цитате - неверно. Попытаться проверить нормальность числа $\pi$ Вы можете сами эмпирическим путем.

 Профиль  
                  
 
 Re: В записи числа пи можно найти любую подпоследовательность?
Сообщение19.06.2015, 06:45 


08/05/08
593
Совсем недавняя такая же тема:
topic90460.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group