Вопрос по принципу Гюйгенса-Френеля

[Red_Herring]

tech в сообщении #1028347 писал(а):

Выходит, что решения уравнения (именно для компонент вектора $\textbf{E}$, ну или $\textbf{H}$)

$$\Delta E_x-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0$$

в виде скалярных сферических волн тоже не имеют физического смысла?

Они в любом нетривиальном случае не удовлетворяют условию бездивергентности (вне начала координат), т.е. не являются решениями у-ний Максвелла

[amon]

Red_Herring в сообщении #1028337 писал(а):

То, что он называет сферической волной это произвольная волна

Боюсь, не только он. Вайнштейн - первое, что под руку попалось.

[tech]

То есть волны, испускаемые вторичными источниками, не являются решениями уравнений Максвелла? Ну, это ещё ладно.

Но что имеется в виду, когда говорится о сферическом волновом фронте, распространяющемся от точечного источника? Ведь эти-то волны должны удовлетворять уравнениям Максвелла, а вышло так что ничего сферического ($E_x(R,t)=\frac{1}{R}f(t-R/v)$, допустим) уравнениям Максвелла не удовлетворяет.

[Munin]

tech в сообщении #1028347 писал(а):

Выходит, что решения уравнения (именно для компонент вектора $\textbf{E}$, ну или $\textbf{H}$)

$$\Delta E_x-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0$$

в виде скалярных сферических волн тоже не имеют физического смысла?

Нет, они как раз имеют, только поскольку в них участвует $E_x$ - в итоге получится векторное поле, причём "не причёсанное" вдоль поверхности сферы.

[tech]

А зачем векторному полю, собственно, быть "причесанным" вдоль поверхности?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1028349 писал(а):

Они в любом нетривиальном случае не удовлетворяют условию бездивергентности (вне начала координат), т.е. не являются решениями у-ний Максвелла

Возьмите источник в виде колеблющегося диполя, ориентированного вдоль оси $x.$ И пожалуйста, пока сами разбираетесь - постарайтесь не давать разъяснений. А то авторитетом можете задавить, а сказанное вами останется неправильным.

tech в сообщении #1028435 писал(а):

То есть волны, испускаемые вторичными источниками, не являются решениями уравнений Максвелла? Ну, это ещё ладно.

Тут тонкость, про которую я уже говорил.

Волны, испускаемые "вторичными источниками", взятые по отдельности, - не являются решениями уравнений Максвелла.
Но после того, как вы взяли интеграл по всем "вторичным источникам, то есть, учли их все вместе, - получится законное и полноценное решение уравнений Максвелла.

Это происходит за счёт того, что и сами "вторичные источники" - не абы какие, не совершенно произвольные, а в свою очередь возникли из распространения волны из каких-то других, первичных источников.

Для amon и Red_Herring:
Здесь, разумеется, речь идёт о сохранении источника (об уравнении непрерывности). Волновые уравнения не накладывают таких условий на источник, а исходные уравнения Максвелла - накладывают. Кроме того, уравнения Максвелла содержат и условия связи, которые накладывают ограничения на сами поля - это приводит к тому, что и не любые граничные условия можно поставить. В волновых уравнениях и этих условий больше не содержится.

И приведу, наконец, для справки, главных героев:

$$\begin{aligned}\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\varphi-\Delta\varphi&=-4\pi\rho&(\text{Lor. gauge}) \\\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{A}-\Delta\mathbf{A}&=-\dfrac{4\pi}{c}\mathbf{j}&(\text{Lor. gauge}) \\\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E}-\Delta\mathbf{E}&=-\dfrac{4\pi}{c^2}\dfrac{\partial}{\partial t}\mathbf{j}-4\pi\operatorname{grad}\rho \\\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{H}-\Delta\mathbf{H}&=\dfrac{4\pi}{c}\operatorname{rot}\mathbf{j} \\\end{aligned}$$

tech в сообщении #1028435 писал(а):

Но что имеется в виду, когда говорится о сферическом волновом фронте, распространяющемся от точечного источника? Ведь эти-то волны должны удовлетворять уравнениям Максвелла, а вышло так что ничего сферического ($E_x(R,t)=\frac{1}{R}f(t-R/v)$, допустим) уравнениям Максвелла не удовлетворяет.

Это, на самом деле, упрощение в рамках оптики. Упрощение содержится в словах "точечный источник". Точечных источников электромагнитных волн не бывает. Точечные источники света - это такие источники электромагнитных волн, которые намного меньше, чем имеет смысл рассматривать для оптики.

В геометрической оптике - это источники настолько малые, что вызванные их размерами отклонения луча меньше разрешающей способности эксперимента. Это могут быть источники, которые на самом деле большие - больше нашей оптической системы! - просто мы не можем различить их размеров на изображении.

В волновой оптике - это источники настолько малые, что вызванные их размерами отклонения фазы волн - меньше разрешающей способности эксперимента. Если здесь подумать об электродинамике, то мы получим, что можно взять любую систему зарядов, двигающуюся в пространстве - в неточечной области! - лишь бы размеры этой области были существенно меньше длины волны. Здесь два практических примера, плавно переходящих один в другой:
- радиоволны и антенны. Радиоволны могут быть длиной в сотни метров, в километры, а излучать их могут антенны размером в десятки и единицы сантиметров. Правда, "удобной" такую антенну не назовёшь, у неё будет очень широкая диаграмма направленности, но это применяющийся на практике случай (правда, больше для приёмных антенн, чем для излучающих).
- обычный свет и атомы. Здесь тоже выполняется соотношение, что излучающая система меньше длины волны: характерный коэффициент между размером атома и длиной волны $\alpha\approx 1/137$ - "постоянная тонкой структуры", мировая константа.

[chislo_avogadro]

amon в сообщении #1028222 писал(а):

Для уравнений Максвелла в однородной среде или вакууме можно ввести скалярные функции $u$ и $v$, каждая из которых удовлетворяет волновому уравнению, а поля выражаются через них как

$$ \begin{align} U&=ru,\;V=rv\\ E_r&=\frac{\partial^2U}{\partial r^2}+k^2U,\;E_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial^2U}{\partial r \partial\theta},\;E_\varphi = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial^2U}{\partial r \partial\varphi}\\ H_r&=0,\;H_\theta=-\frac{ik}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial\varphi},\;H_\varphi=\frac{ik}{r}\frac{\partial U}{\partial\theta} \end{align} $$

Для $V$ будет тоже самое с заменой $E$ на $H$ и иногда другими знаками. Эти решения будут полной системой (т.наз. $TE$ и $TM$ моды).

Положение дел сходно с тем, как в квантовой механике? Т.е. имеется некоторая абстрактная волна ($\psi$ как аналог $u$), а "реальные" наблюдаемые величины сходным образом получают применением к ней операторов...

-- 18.06.2015, 15:16 --

Munin в сообщении #1028487 писал(а):

Волны, испускаемые "вторичными источниками", взятые по отдельности, - не являются решениями уравнений Максвелла.
Но после того, как вы взяли интеграл по всем "вторичным источникам, то есть, учли их все вместе, - получится законное и полноценное решение уравнений Максвелла.

Действительно есть принципиальное различие между членами линейной суперпозиции и их суммой?

[amon]

chislo_avogadro в сообщении #1028502 писал(а):

Положение дел сходно с тем, как в квантовой механике? Т.е. имеется некоторая абстрактная волна ($\psi$ как аналог $u$), а "реальные" наблюдаемые величины сходным образом получают применением к ней операторов...

Есть существенное различие. В квантовой механике мы принципиально не можем написать уравнение движения на наблюдаемые, и вынуждены вводить волновую функцию, которая сама ни как не наблюдаема. Уравнения Максвелла написаны на наблюдаемые величины, но уравнений восемь, а величин шесть. С точки зрения механики уравнения Максвелла - система со связями, если бы связи были голономные, то можно было бы исключить часть переменных, но связи не голономные, поэтому приходится вводить не наблюдаемые потенциалы или функции Герца.

Довольно легко сообразить, что в свободном однородном пространстве есть всего две независимые переменные. Легче всего это увидеть, перейдя к калибровке $\varphi=0$ и наложив на векторный потенциал условие $\operatorname{div}\mathbf{A}=0.$ Введение функций Герца позволяет расцепить два уравнения для двух независимых функций в широком классе систем координат.

Забавно, что если бы мы, к примеру, не знали ничего о магнитном поле, то нам пришлось бы вводить потенциалы сразу, и электродинамика стала бы похожа на квантовую механику - уравнения движения писались бы на не наблюдаемую величину, которой иногда можно придать какой-то смысл (скалярный потенциал в кулоновской калибровке), а иногда - нет, и наблюдаемые извлекались бы из из решения уравнений движения с помощью бубна.

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1028502 писал(а):

Действительно есть принципиальное различие между членами линейной суперпозиции и их суммой?

Различие тут такого рода. Допустим, мы хотим рассматривать векторы на какой-то плоскости $\alpha\colon Ax+By+Cz=0.$ На этой плоскости выполняется закон суперпозиции, естественно: если $\vec{u},\vec{v}\in\alpha,$ то и суперпозиция $a\vec{u}+b\vec{v}\in\alpha.$ Но если мы начнём с менее ограниченного подпространства, то можем начать с векторов, не лежащих в этой плоскости, например, с $\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}.$ Тогда запишем $\vec{u}=u_x\vec{\imath}+u_y\vec{\jmath}+u_z\vec{k},$ и здесь мы увидим, что члены линейной суперпозиции не лежат в требуемой плоскости, в то время как их сумма - лежит.

Здесь аналогия такая: более ограниченное подпространство - это уравнения Максвелла; а менее ограниченное подпространство - это система волновых уравнений. Каждое решение уравнений Максвелла удовлетворяет и волновым уравнениям. Но обратное неверно: не каждое решение волновых уравнений удовлетворяет уравнениям Максвелла.

Из уравнений Максвелла можно вывести волновые уравнения как следствие, в виде однонаправленной стрелочки $\Rightarrow.$ Но в обратную сторону, из волновых уравнений нельзя вывести уравнения Максвелла, $\nLeftarrow.$ Требуется наложить ещё некоторые условия (взаимосвязь между электрическими и магнитными полями, и условие сохранения заряда).

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1028487 писал(а):

Возьмите источник в виде колеблющегося диполя, ориентированного вдоль оси $x.$ И пожалуйста, пока сами разбираетесь - постарайтесь не давать разъяснений. А то авторитетом можете задавить, а сказанное вами останется неправильным.

Я утверждаю только, что того, что в любом стандартном учебнике УЧП называется сферической волной и даже ничего подобного математически (с вектором Пойнтинга направленном по радиусу в каждой точке) ур-ния Максвелла не имеют. Это не означает, что в реальном мире "сферических волн" нет. Просто механизм их более сложный, чем решения данного вида. И Вы сами демонстрируете разные механизмы. Первое, неточечность источника. Второе, не мне Вам напоминать, что реальный свет квантован, и если фотоны вылетают с крошечными интервалами во всевозможных направлениях равновероятно, то наблюдатель не сможет отличить его картинку с той, которая получается для обычного скалярного уравнения. В третьих, мне представляется возможным описание в рамках уравнений Максвелла, но: источник хотя и точечный (диполь, колеблющийся вдоль оси $\mathbf{a}$; его с сохранением дипольного момента можно сделать точечным устремляя размер к 0, а заряд к бесконечности), но меняющийся по времени $\mathbf{a}=\mathbf{a}(t)$ очень быстро (но с частотой гораздо меньшей чем частота колебаний).

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1028551 писал(а):

Я утверждаю только, что того, что в любом стандартном учебнике УЧП называется сферической волной

Давайте притормозим.

Математики читают учебники по УЧП. Но это слишком сложная дисциплина для нематематиков.
Физики читают учебники по УМФ. Это предмет попроще, к тому же с более практическими примерами.
В некоторых учебниках УМФ упоминаются и уравнения Максвелла. Например, Морс, Фешбах.

Не исключено и такое, что ДУЧП и УМФ (как предметы) имеют и отличающуюся нюансами терминологию. А уж если вы обращаетесь к электродинамике, как разделу физики, то другая терминология практически гарантирована. Например, в математике говорят о "линейности уравнений", в физике - о "принципе суперпозиции".

Red_Herring в сообщении #1028551 писал(а):

того, что в любом стандартном учебнике УЧП называется сферической волной и даже ничего подобного математически (с вектором Пойнтинга направленном по радиусу в каждой точке) ур-ния Максвелла не имеют.

Итак, ситуация следующая: то, что вы привыкли называть сферической волной, вообще отсутствует в электродинамике. Но само слово удобно, и его - не вы! - в электродинамике используют, просто в других смыслах и в других ситуациях. Надеюсь, вы не намерены начинать крестовый поход во имя слов?

Red_Herring в сообщении #1028551 писал(а):

Это не означает, что в реальном мире "сферических волн" нет. Просто механизм их более сложный, чем решения данного вида.

Нет, извините. В реальном мире - нет. Строго нет.

Есть - другое. То, что другие люди называют тоже "сферическими волнами", а вы не называете.

Отличие не в механизме (механизм полностью описывается уравнениями Максвелла, здесь вы и реальный мир полностью синхронны). Отличие в использовании слов.

Red_Herring в сообщении #1028551 писал(а):

И Вы сами демонстрируете разные механизмы. Первое, неточечность источника. Второе, не мне Вам напоминать, что реальный свет квантован, и если фотоны вылетают с крошечными интервалами во всевозможных направлениях равновероятно, то наблюдатель не сможет отличить его картинку с той, которая получается для обычного скалярного уравнения.

Это всё, простите, не имеет права на название "сферических волн", на которое сослались вы. Хотя слова "сферические волны" здесь могут употребляться, но в другом смысле.

Red_Herring в сообщении #1028551 писал(а):

В третьих, мне представляется возможным описание в рамках уравнений Максвелла, но: источник хотя и точечный (диполь, колеблющийся вдоль оси $\mathbf{a}$; его с сохранением дипольного момента можно сделать точечным устремляя размер к 0, а заряд к бесконечности), но меняющийся по времени $\mathbf{a}=\mathbf{a}(t)$ очень быстро (но с частотой гораздо меньшей чем частота колебаний).

Это решение я вам называл выше, и даже быстропеременности здесь не требуется.

[Red_Herring]

Я разумеется не собираюсь устраивать крестового похода из-за названий. Проблема однако в том, что если Вы прогуглите "сферическая волна" или "spherical wave", то выскочит именно то определение которое приводится в учебниках УЧП . Даже Морс и Фешбах придерживаются его (стр 146 английского издания), хотя потом для Максвелла используют другое.

Поэтому неудивительно, что не только я, но и некоторые другие участники дискуссии опирались на это понятие. И мы поставили точки над i (и перечеркнули t) выяснив, что в электродинамике под сферическими волнами понимается нечто отличное. В этом я вижу пользу обсуждения

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1028603 писал(а):

хотя потом для Максвелла используют другое.

О! Молодцы! Я в них верил, хотя и не заглядывал проверить :-)

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1028603 писал(а):

И мы поставили точки над i (и перечеркнули t)

Вот в перечёркивании вы были особенно усердны... :-)

Anyway, thanks. Одно ваше присутствие заставило сформулировать многие вещи строже, и полазить по учебникам. Кстати, формула Гюйгенса-Френеля в точности в приведённом виде находится в ЛЛ-2 по адресу (59.1).

[Munin]

И ещё кое-что, подглядывая в ЛЛ-2 § 53.

Там берётся волновое уравнение для любой скалярной величины, описывающей поле волны (обозначено $f,$ я сменю обозначение на $u,$ как в этой теме; кроме того, пространственно-временные индексы сегодня принято обозначать греческими буквами). Явно сказано, что это "любая из компонент $\mathbf{E}$ или $\mathbf{H}$". Рассматривается волновое уравнение для этой величины в вакууме (без источников)

$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_\mu \partial x^\mu}=0.$$

Для этой величины вводится выражение $u=a\,e^{i\psi}$ из амплитуды и фазы (в § 53 - эйконала, но название "эйконал" законно только когда фаза - большая величина), здесь $a$ и $\psi$ - действительные числа. Волновое уравнение строго преобразуется в

$$\dfrac{\partial^2 a}{\partial x_\mu \partial x^\mu}e^{i\psi}\biggr._{(\mathrm{I})}+2i\dfrac{\partial a}{\partial x_\mu}\dfrac{\partial\psi}{\partial x^\mu}e^{i\psi}\biggr._{(\mathrm{II})}+iu\dfrac{\partial^2\psi}{\partial x_\mu \partial x^\mu}\biggr._{(\mathrm{III})}-u\dfrac{\partial\psi}{\partial x_\mu}\dfrac{\partial\psi}{\partial x^\mu}\biggr._{(\mathrm{IV})}=0.\eqno(53.6)$$

Это выражение в § 53 безыскусно используется, чтобы отбросить члены (I)-(III), и оставить только член (IV) - это будет приближение геометрической оптики, и соответственно, уравнение эйконала.

Но мы можем заняться и более тонким анализом. В плоской волне $\psi=\mathbf{kr}-\omega t+\psi_0.$ Теперь для удобства рассуждений, наоборот, определим $k_\mu=\partial\psi/\partial x^\mu$ (как предложил chislo_avogadro в post1028213.html#p1028213 ). Тогда мы видим, что:

- (IV) имеет порядок величины $a\,k^2$;
- (I) имеет порядок величины $\mathop{\square}a$;
- (II) имеет порядок величины $k\,\partial_\mu a$;
- (III) имеет порядок величины $a\,\partial_\mu k^\mu.$

Считая волновую картину постоянной во времени, переводим это на более простой язык:

- (I) имеет порядок величины $\Delta a$;
- (II) имеет порядок величины $k\operatorname{grad}a$;
- (III) имеет порядок величины $a\operatorname{div}\mathbf{k}.$

Кроме того, уравнение (53.6) распадается на два действительных уравнения: $(\mathrm{I})+(\mathrm{IV})=0$ и $(\mathrm{II})+(\mathrm{III})=0.$ Через логарифмическую производную это записывается так:

$$\begin{aligned}\dfrac{(\mathrm{I})}{u}&=\operatorname{div}\Bigl(\dfrac{\operatorname{grad}a}{a}\Bigr)+\Bigl(\dfrac{\operatorname{grad}a}{a}\Bigr)^2 &\dfrac{(\mathrm{III})}{iu}&=\operatorname{div}\mathbf{k} \\\dfrac{(\mathrm{II})}{iu}&=2\Bigl(\dfrac{\operatorname{grad}a}{a}\Bigr)\mathbf{k} &\dfrac{(\mathrm{IV})}{u}&=k^2-\omega^2 \\\end{aligned}$$

(подчеркну, в выбранных обозначениях $(\mathrm{IV})/u\not\equiv 0,$ поскольку $\omega=\mathrm{const},$ а вот $k\equiv|\mathbf{k}|$ - функция координат). Дальше, ещё раз обезразмерим это дело, помножив на длину волны $\rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda=1/k,$ и обозначим логарифмический инкремент $\rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda(\operatorname{grad}a)/a=\delta.$ Тогда

$$\begin{aligned}\dfrac{(\mathrm{I})}{uk}&\sim \operatorname{div}\boldsymbol{\delta}+\dfrac{\delta^2}{\rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda} &\dfrac{(\mathrm{III})}{iuk}&\sim \rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda\operatorname{div}\mathbf{k} \\\dfrac{(\mathrm{II})}{iuk}&\sim 2\dfrac{\delta}{\rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda}\cdot\text{some cos} &\dfrac{(\mathrm{IV})}{uk}&\sim 2(k-\omega). \\\end{aligned}$$

Кажется, первой степени длины волны недостаточно (я мог бы сразу догадаться), вот ещё раз:

$$\begin{aligned}\dfrac{(\mathrm{I})}{uk^2}&\sim \rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda\operatorname{div}\boldsymbol{\delta}+\delta^2 &\dfrac{(\mathrm{III})}{iuk^2}&\sim \dfrac{\rlap{\(\bar{\phantom{a}}\)}\lambda\operatorname{div}\mathbf{k}}{k} \\\dfrac{(\mathrm{II})}{iuk^2}&\sim 2\delta\cdot\text{some cos} &\dfrac{(\mathrm{IV})}{uk^2}&\sim 2\Bigl(\dfrac{k}{\omega}-1\Bigr). \\\end{aligned}$$

Наконец, можно сказать что-то о физическом смысле этих слагаемых, в терминах амплитуды и фазы.

- (I) имеет второй порядок по инкременту $\delta,$ и первый порядок по инкременту инкремента;
- (II) имеет первый порядок по инкременту $\delta$;
- (IV) имеет первый порядок по отклонению фазы за пространственный период;
- (III) имеет первый порядок по инкременту волнового вектора - по сути, по тому же отклонению фазы за пространственный период.

Отсюда, как я понимаю, просматривается несколько разных приближений, кроме указанного в ЛЛ-2 приближения геометрической оптики.

$$\begin{aligned}(\mathrm{A})\colon\qquad&(\mathrm{IV})=0&&(\mathrm{III})=0 \\(\mathrm{B})\colon\qquad&(\mathrm{IV})=0&&(\mathrm{II})+(\mathrm{III})=0 \\(\mathrm{C})\colon\qquad&(\mathrm{I})+(\mathrm{IV})=0&&(\mathrm{II})+(\mathrm{III})=0 \\\end{aligned}$$

Я не уверен, но кажется, эти приближения:

- (A) не имеет отдельного смысла, и даже вообще никогда не выполняется;
- (B) - это волновая оптика;
- (C) - это полная электродинамика Максвелла.

[Red_Herring]

Вообще то делается в коротковолновой асимптотике обычно так:
$(IV)=0$ –– ур-ние эйконала
$(II)+(III)=0$ -- ур-ние переноса

Остается вроде в сухом остатке (I). Чтобы его компенсировать вводят следующую амплитуду $a_1$ порядка $k^{-1}$ и тогда для нее $(IV)=0$ по прежнему $(II)_1 +(III)_1= (I)$ т.е. ур-ние переноса с правой частью и в сухой остаток уходит $(IV)_1$ который порядка $k^{-1}$. Тогда вводится следующая амплитуда $a_2$ и т.д. и т.п.

Проблемы начинаются тогда, когда фаза имеет сингулярность (каустика, фокусировка) и тут есть разные вариации по существу одной идеи: кому она известна как WKB, кому как канонический оператор Маслова, многим как интегральные операторы Фурье. С их помощью сингулярность проходится, вблизи нее указанное коротковолновое приближение не работает (но есть другое), а потом снова коротковолновое приближение (но со лишним множителем $e^{i\pm \pi \sigma /2}$, $\sigma $—целое => индекс Маслова и другие интересные штучки (ну может за одной сингулярностью последовать ещё …)