Полиномиальные законы сохранения уравн. химической кинетики

[DLL]

Возьмем для определенности популярную реакцию Михаэля-Ментена:

$$ \begin{cases} \frac{d x_1}{dt} = -k_1 x_1 x_2 + (k_2 + k_3) x_3,,&\\ \frac{d x_2}{dt} = -k_1 x_1 x_2 + k_2 x_3,&\\ \frac{d x_3}{dt} = k_1 x_1 x_2 - (k_2 + k_3) x_3,&\\ \frac{d x_4}{dt} = k_3 x_3.& \end{cases} $$

Очевидно, у этой системы есть линейные законы сохранения, которые связаны с законом сохранения ядер.
Интересно, могут ли у этой системы быть какие-либо полиномиально-нелинейные законы сохранения?
Мои символьные эксперименты наводят на мысль, что не может такого быть.
Возможно, есть какие-то физические соображения, почему не может быть полиномиальных законов сохранения...
В общем, интересны любые формальные и неформальные идеи на эту тему

[arseniiv]

Потому что продукт реакции ни с чем не реагирует и ни на что не распадается, так что от его концентрации $x_4$ производная ничьей другой концентрации не зависит.

-- Чт июн 04, 2015 04:48:23 --

И, самое удивительное, это можно прочитать по ссылке.

[DLL]

Математически четвертое уравнение в рамках вопроса полиномиальных законов сохранения не несет никакой информации, и конечно может быть опущено.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

участник hurtsy
никогда по существу дела не высказывается (не умеет), и беседа с ним чревата лишь изматывающим и удручающим словоблудимем на 10 экранов

DLL в сообщении #1023016 писал(а):

Очевидно, у этой системы есть линейные законы сохранения, которые связаны с законом сохранения ядер.

Вы не интригуйте , а выпишите эти законы, от этого, возможно, будет зависеть отает на Ваш следующий вопрос. ЕСли трехмерная динамическая система имеет два независимых первых интеграла, то любой другой первый интеграл через них выражается

[DLL]

Линейный только один, и вроде как достаточно очевиден (надо сложить первое и третье уравнение)

[Oleg Zubelevich]

он может и очевиден, только накой черт мне думать над вашей задачей, ничего интересного в ней нет. значит Вы можете легко понизить порядок Вашей системы до второго и нарисовать фазовый портрет, тогда будет ясно есть еще интегралы или нет.

-- Вс июн 07, 2015 08:32:18 --

а заодно подумайте какие ограничения на устройство положения равновесия накладывает факт существования аналитического перввого интеграла в его окрестности

[Hasek]

Если уж тема в дискуссионном разделе и Вы просите даже неформальные идеи, то напишу такую. Когда я на втором курсе интересовался дифференциальными уравнениями, то как раз писал курсовую по приложениям асимптотической теории сингулярно возмущённых задач к задачам химической кинетики. Если Вы хотя бы в общих чертах представляете что это, то попробуйте написать асимптотику для Вашей задачи, тогда и будет видно (формальной асимптотики достаточно, над вопросами доказательства существования можете не думать поначалу). Если слышите впервые, но есть интерес, можете посмотреть, например, книжку "Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений" Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф. чтобы понять, что это такое. Обычно систему уравнений химической кинетики какой-либо удачной заменой можно привести к задаче для дифференциального уравнения с малым параметром.

[olenellus]

Там на всех многообразиях $I_1 = C_1 \wedge I_2 = C_2$, где $I_2$ и $I_2$ - это очевидные первые интегралы, торчит одинокое простое седло. Так что, должен быть и третий первый интеграл. Но очень сомневаюсь, что он полиномиальный, иначе его бы уже давно нашли, а систему - проинтегрировали.

[DLL]

А есть ли какие-нибудь общие соображения в каком виде стоит искать этот интеграл?
Понятно, что случай полиномиального слишком маловероятен.
Но может возможно сделать какое-нибудь другое концептуальное анзац-предложение?
Например, $F(x_1, x_2) = A_1(x_1) B_1(x_2) + A_2(x_1) B_2(x_2)$. Или еще что-нибудь в таком духе...

[olenellus]

olenellus в сообщении #1026235 писал(а):

Там на всех многообразиях $I_1 = C_1 \wedge I_2 = C_2$, где $I_2$ и $I_2$ - это очевидные первые интегралы, торчит одинокое простое седло. Так что, должен быть и третий первый интеграл. Но очень сомневаюсь, что он полиномиальный, иначе его бы уже давно нашли, а систему - проинтегрировали.

Прошу прощения. Я глупость написал. У меня последнее время по работе в голове задача ферментативного автокатализа. Там как раз седло (в физически осмысленном случае).

Здесь же мы наблюдаем следующее. У двумерной системы, редуцированной с помощью $x_4 = C_1 \wedge x_1 + x_3 = C_2$, где в качестве координат на каждой такой поверхности взяты, например, $x = x_3$ и $y = x_2 + x_3$, т. е. системы
\begin{cases} \dot x = - (k_1 C_2 + k_2 + k_3)x + k_1 C_2 y + k_1 x^2 - k_1 xy,\\ \dot y = -k_3 x, \end{cases}
единственной стационарной точкой является $(0,0)$. При положительных $C_2$ она является устойчивым узлом (что и позволяет, при, например, малом $k_3$ сводить задачу к сингулярно возмущёноому случаю, учитывая, что 0 на медленной поверхности должен быть притягивающим, так как это соответствует исчерпанию субстрата). При отрицательных $C_2$ эта точка является седлом. А при $C_2 = 0$ появляется целая линия положений равновесия (в которую превращается бывшее медленное направление седла или узла). Т. е. у исходной системы есть целых две пересекающиеся линии (в четырёхмерном пространстве) из положений равновесия. Да, модели химической кинетики, они такие. В итоге можно сделать вывод, что у системы вообще нет третьего глобального первого интеграла. Нет его, даже если рассмотреть только физически осмысленную область неотрицательных $x_i$.

[olenellus]

olenellus в сообщении #1026319 писал(а):

редуцированной с помощью $x_4 = C_1$...

Опять ерунду написал. Да что ж со мной такое?

[DLL]

Насчет $x_4$ не очень понял. Вообще, четвертый реактант можно не рассматривать и ограничить систему тремя:
\begin{cases} \frac{d x_1}{dt} = -k_1 x_1 x_2 + (k_2 + k_3) x_3,,&\\ \frac{d x_2}{dt} = -k_1 x_1 x_2 + k_2 x_3,&\\ \frac{d x_3}{dt} = k_1 x_1 x_2 - (k_2 + k_3) x_3.&\\ \end{cases}
Тогда используя первый интеграл $x_1 + x_3 = C$ и замену $x = x_3, y = x_2 + x_3$ получается система
\begin{cases} \dot x = k_1 (C - x) (y - x) - (k_2 + k_3) x,\\ \dot y = -k_3 x. \end{cases}

[Deggial]

hurtsy, предупреждение за бессодержательные сообщения.
Посты снесены в отдельную тему. Все последующие аналогичные посты пойдут туда же.

[olenellus]

DLL в сообщении #1026934 писал(а):

Тогда используя первый интеграл $x_1 + x_3 = C$ и замену $x = x_3, y = x_2 + x_3$ получается система
\begin{cases} \dot x = k_1 (C - x) (y - x) - (k_2 + k_3) x,\\ \dot y = -k_3 x. \end{cases}

Вот именно. У этой системы, при положительных $C$, в начале координат узел. Поэтому, она не может иметь глобального первого интеграла.

[DLL]

ОК, забудем теперь про полиномиальные законы сохранения
Последнюю систему (из двух уравнений) можно свести к одному скалярному ОДУ:

$$ \frac{dx}{dy} = - \frac{k_1 (C - x) (y - x) - (k_2 + k_3) x}{k_3 x}, $$

то есть уравнению вида

$$\frac{dx}{dy} = A_1 x + A_2 y + A_3 + B \frac{y}{x}.$$

Согласно, теореме 6 (с. 11):
Теорема 6 (Пенлеве, 1890 г.). Интегрирование алгебраического дифференциального уравнения $F(\dot{x}, x, t) = 0$ вводит не более трех трансцендент, таковыми могут быть или решения уравнения Риккати, или одна эллиптическая функция.

Знаком ли кто-нибудь с теорией Пенлеве, чтобы прокомментировать эту процедуру?