Теория вероятностей: тривиальна ли задача?

[Anton_Peplov]

Как известно, митохондриальная ДНК передается от матери к дочери с вероятностью 100%. Пусть в начальный момент есть $N$ женщин и у каждой из них свой тип мтДНК. Пусть каждая женщина любого поколения, уж если она родилась, может с равной вероятностью иметь от $0$ до $3$ дочерей. Вопрос:
1) верно ли, что существует такое $k$, что через $k$ поколений останется один тип мтДНК?
2) существенно ли условие, что каждая рожденная женщина может с равной вероятностью иметь от $0$ до $3$ дочерей?

Мой интуитивный ответ:
1) да, верно
2) нет, не существенно. $3$ можно заменить на любое конечное число (главное, чтобы во всех поколениях одно и то же), а равновероятность - на любой закон, при котором событие "дочерей не было" возможно.

"На пальцах" я рассуждаю так: ни в одном поколении событие "у всех женщин, кроме одной, не оказалось дочерей" не является невозможным, а значит, в каком-то поколении оно произойдет. Не будем накладывать ограничения на число поколений, пусть их может быть хоть десять в лохматой степени. Но, если рассуждать так, то и событие "вообще ни у кого не оказалось дочерей" тоже произойдет, и неизвестно, какое раньше. Так что могут наши девочки так все и вымереть с разными мтДНК.

Но все это разговоры, а хочется математики. В лоб применить тут центральную предельную теорему или даже теорему Пуассона нельзя, потому что события "в $i$-том поколении родилось $n$ девочек с данным типом мтДНК" не являются независимыми (для каждого поколения эта вероятность зависит от того, сколько их родилось в предыдущих поколениях). В голове крутится название "марковские цепи", но это из разряда "слышал звон": знаю определение, но не знаю свойств.

Поскольку никто тут не обязан решать задачу за меня, скажите хотя бы, тривиальная она, студенческая, или нет. А то ведь я могу в своей наивности сформулировать что-нибудь уровня теоремы Ферма, и иди потом, доказывай.

Всем спасибо заранее.

[Otta]

Anton_Peplov в сообщении #1026628 писал(а):

1) верно ли, что существует такое $k$, что через $k$ поколений останется один тип мтДНК?

Нет, вероятность этого события не равна 1.

Ветвящиеся процессы посмотрите, не надо "на пальцах".

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1026634 писал(а):

Ветвящиеся процессы посмотрите, не надо "на пальцах".

Спасибо. Теперь знаю, как это называется, а следовательно, куда копать.

[provincialka]

Как то я пыталась смоделировать процесс численно. мтДНК не хотели вымирать! То есть далеко не при каждом запуске оставалась мтДНК только одного типа.

[Anton_Peplov]

А у меня - при каждом. Вы сколько брали особей в начальной группе, типов, детей?

[mustitz]

Во-первых, задача поставлена не совсем корректно. Можно говорить что через $k$ поколений останется одна мтДНК с вероятностью $\alpha$ близкой к единице. Например, 99%. 100% не будет никогда, потому что возможен вариант, когда ни одна из женщин не оставит потомства, и в этом случае вопрос о числе $k$ становится бессмысленным.

Во-вторых, на качественном уровне достаточно рассмотреть независимо одну женщину. Если ее род со временем вымирает, то, очевидно, что это повышает вероятность того, что такое число $k$ для любого близкого к единице $\alpha$. Но математическое ожидание количества потомков у нас $3/2$, что свидетельствует в пользу того, что род будет разрастаться примерно как $(3/2)^n$. Отсюда следует, что если флуктуации не привели группу к смерти на ранних этапах, то группа будет практически бессмертной.

Интуитивный ответ скорее всего подразумевает ограниченность популяции. Например, если у нас популяция ограничена $10000$ особей, и в случае превышения этого значения выбираются случайным образом «жертвы», то тогда можно говорить о некотором числе $k$ при заданном $\alpha$.

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #1026685 писал(а):

100% не будет никогда, потому что возможен вариант, когда ни одна из женщин не оставит потомства, и в этом случае вопрос о числе $k$ становится бессмысленным

Да, ниже я тоже это заметил.

mustitz в сообщении #1026704 писал(а):

математическое ожидание количества потомков у нас $3/2$,

А вот это интересное наблюдение, спасибо! Если бы было $\frac{1}{2}$, что вниз округляется до нуля, то популяция бы вымерла.

Впрочем, все равно придется считать строго. В теорвере столько неочевидностей.

[Otta]

Anton_Peplov в сообщении #1026712 писал(а):

А вот это интересное наблюдение, спасибо!

Значит, так и не добрались почитать. Иначе это первое, что Вы бы увидели - что в этой модели для Ваших целей, а именно, выяснить, будет ли такой момент времени или нет, совершенно безразлично само распределение числа потомков каждой женщины, имеет значение лишь его матожидание.

Anton_Peplov в сообщении #1026685 писал(а):

А у меня - при каждом. Вы сколько брали особей в начальной группе, типов, детей?

Точное значение вероятности, что прервутся все линии, кроме одной $N\sqrt{2}{(\sqrt 2-1)}^N$, что при $N$, равном 100, дает величину порядка $10^{-39}$ или около того. Примерно то же будет для всех крайних состояний. В том числе и для "сохранятся все линии" или "все линии вымрут".
Но финальные вероятности вырождения линии и вероятности сохранения относятся в Вашей задаче как $1:\sqrt 2$, а это значит, что наиболее вероятно сохранение 59 линий из 100, с вероятностью $0{,}08$. Все остальные результаты дадут меньший вклад. Разумным кажется спрашивать о сохранении, скажем, 55 - 62 линий, то есть получать интегральный результат. Или спрашивать, в каком интервале будет находиться число сохраненных линий с нужной вероятностью, скажем, $0{,}9$.

Извините, я большую часть устно считала, конкретные значения нуждаются в проверке.

[grizzly]

mustitz в сообщении #1026704 писал(а):

Но математическое ожидание количества потомков у нас $3/2$

Хм.. Это ж только потомок (или как это правильно сказать :)

[Anton_Peplov]

А нас только девочки и интересуют. Не будем тут европейские ценности разводить.

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1026685 писал(а):

А у меня - при каждом. Вы сколько брали особей в начальной группе, типов, детей?

Не помню, это уже лет 20 назад было... Думаю, у меня модель была несколько другая...

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1026717 писал(а):

Значит, так и не добрались почитать.

Отложил. У меня в планах курс по случайным процессам. Вот тогда и будем копать основательно и не торопясь.
Собственно, после того, как Вы указали мне направление поиска, я считаю тему закрытой. Все мои дальнейшие ответы - в порядке "поболтать".