Уравнения Математической Физики

[Oleg Zubelevich]

Эту задачу можно и локально решать в окрестности нуля по $x$. И понятно, что вопрос существования сведется к тому, что надо выбирать начальные условия с достаточно быстрым стремлением коэффициентов Тейлора к нулю. Корректность таких задач обсуждается в Ю.А. Дубинский Задача Коши в комплексной области.

[Vince Diesel]

Oleg Zubelevich в сообщении #1026290 писал(а):

Это известно в условиях теоремы Коши-Ковалевской, данная задача этим условиям не удовлетворяет.

Ну, кому что Следовало бы сказать, для нелинейных оно известно. А тут, если $u$ аналитическое решение, то его разложение непосредственно получается как формальное решение через экспоненту, упомянутую TripleLucker. Если $u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty{t^n f_n(x)}$, где $f_n$ аналитические функции, скажем, в окрестности нуля (и ряд сходится тоже в окрестности нуля), то отсюда с учетом уравнения уравнения $\partial_t^nu(x,0)/n!= f_n(x)=\varphi^{(3n)}(x)/n!$.

TripleLucker в сообщении #1026300 писал(а):

Затем разложил его в ряд и там получился явный вид, но я не понимаю, откуда оно взялось, поэтому не могу тут это применить.

Если есть задача $u|_t=Au$, $u|_{t=0}=\varphi$, где $A$ — некий линейный оператор, то есть формальное решение

$$ u=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^nA^n\varphi}{n!}, $$

что записывают опять же формально по аналогии с экспонентой как $u=e^{tA}\varphi$. В вашем случае $A=\partial_x^3$ и ряд сходится потому что только конечное число слагаемых отлично от нуля.

[Oleg Zubelevich]

Это банальные наблюдения, но это не техника КК, как вы это ранее утверждали. За вами доказательство единственности осталось.

[Vince Diesel]

Какая техника КК? Там две части. Первая — единственность, она тривиальна. Я только о единственности и говорил.

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel в сообщении #1026491 писал(а):

Первая — единственность, она тривиальна.

а растолкуйте мне, пожалуйста, про единтсвенность в этой задаче, тем боле раз тривиально

[Vince Diesel]

Если искать решение в виде формального степенного ряда, то его коэффициенты определяются из уравнения и начальных условий однозначно. Но расписывать это у меня нет никакого желания.

[TripleLucker]

Цитата:

Если есть задача $u|_t=Au$, $u|_{t=0}=\varphi$, где $A$ — некий линейный оператор, то есть формальное решение

$$ u=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^nA^n\varphi}{n!}, $$

что записывают опять же формально по аналогии с экспонентой как $u=e^{tA}\varphi$. В вашем случае $A=\partial_x^3$ и ряд сходится потому что только конечное число слагаемых отлично от нуля.

Спасибо за ответ!

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel в сообщении #1026527 писал(а):

Если искать решение в виде формального степенного ряда, то его коэффициенты определяются из уравнения и начальных условий однозначно. Но расписывать это у меня нет никакого желания.

Это все пустая болтовня. Единственность вы доказывать не умеете. А если вы думаете, что коэффициенты Тейлора в этой задаче находятся также как и в теореме Коши-Ковалевской, то вы просто не в теме.

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #1026548 писал(а):

А если вы думаете, что коэффициенты Тейлора в этой задаче находятся также как и в теореме Коши-Ковалевской, то вы просто не в теме.

Поскольку уравнение разрешено относительно старшей производной по $t$, то алгоритм нахождения коэффициентов точно такой же, как и в теореме КК. Что не получается—так это разрешимость в классе функций аналитических по $x$, приходится предполагать "супераналитичность": $|\partial_x^k f|\le C R^k (k!)^{1/q}$ где $q$ это количество производных по $x$ которых "стоит" одна производная по $t$ (в данной задаче $q>1$).

PS. Впрочем, бывает и в другую сторону: если  ур-е $u_{tt}=u_x$ (к примеру), то $q=1/2$ и получается класс Жевре с показателем $2$. Разумеется, эти ограничения налагаются не только на начальные данные и правую часть, но и коэффициенты ур-ния.

PPS. Разумеется, мы говорим о единственности в классе аналитических функций. Если отказаться от условия аналитичности (и условий на бесконечности), то даже для УТ $u_t=u_{xx}$ единственности нет.

PPPS. Разумеется бывают и ур-ния, у которых старшая производная по $t$ "обременена" (коэффициентом ли просто, оператором ли): например у-ние $\Delta u _{tt} + k u_{zz}=0$ описывающее ур-ние малых колебаний вращающейся жидкости. Там, действительно, даже с единственностью в классе аналитических функций все не так просто.

[Oleg Zubelevich]

Это я ступил страшно. Vince Diesel, приношу Вам свои искренние извинения

[Sicker]

TripleLucker в сообщении #1026258 писал(а):

Я так понимаю, т.к. условие всего одно, а произвольных функций в общем решении 4, то общим методом такое решить не получится?

Что значит эта фраза? Эволюция решения полностью определяется заданным единственным условием на распределение координат