Уравнения Математической Физики

[TripleLucker]

Здравствуйте, есть такая задача Коши:
$\[\left\{ \begin{array}{l} {u_t} = {u_{xxx}}\\ {\left. u \right|_{t = 0}} = x \end{array} \right.\]$

Я так понимаю, т.к. условие всего одно, а произвольных функций в общем решении 4, то общим методом такое решить не получится? Я пробовал всеми мне знакомыми, но ничего не выходит. Пробовал искать в виде $u(t,x) = {e^t}v(x)$. Так оно решается, но начальному условию невозможно удовлетворить. Можете, пожалуйста, подсказать идею? Она наверняка должна быть простая. Спасибо

[TripleLucker]

UPD :: Тут есть, конечно, очевидный ответ - $u(t,x) = x$, но такое же не может быть, оно от времени не зависит.

[пианист]

Постоянная функция как частный случай зависимости (от времени) разве не имеет права на существование?
Плюс теорема Коши-Ковалевской.

[TripleLucker]

пианист в сообщении #1026267 писал(а):

Постоянная функция как частный случай зависимости (от времени) разве не имеет права на существование?
Плюс теорема Коши-Ковалевской.

Вот я тоже как раз подумал про эту теорему, но всегда же есть сомнения, когда такое простое решение у задачи, которая на первый взгляд выглядит не слишком просто. Спасибо за ответ! Попробую это предложить.

[Oleg Zubelevich]

пианист в сообщении #1026267 писал(а):

Плюс теорема Коши-Ковалевской.

нет ее здесь

[Vince Diesel]

Единственность в классе аналитических функций есть, доказательство КК (подсчет коэффициентов ряда) проходит.

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel в сообщении #1026278 писал(а):

доказательство КК (подсчет коэффициентов ряда) проходит.

продемонстрируйте плз

[Vince Diesel]

Это известно. Коэффициенты ряда для решения последовательно выражаются.

[Oleg Zubelevich]

Vince Diesel в сообщении #1026282 писал(а):

Это известно. Коэффициенты ряда для решения последовательно выражаются.

Это известно в условиях теоремы Коши-Ковалевской, данная задача этим условиям не удовлетворяет. Повторно прошу Вас привести доказательство Ваших утверждений.

[TripleLucker]

Vince Diesel в сообщении #1026282 писал(а):

Это известно. Коэффициенты ряда для решения последовательно выражаются.

А как это решение находится тогда? Я-то просто угадал, оно в виде ряда представляется изначально?

[пианист]

Ничего не понял.
Вот теорема http://www.mathnet.ru/links/194fe0b9050 ... rm7056.pdf, что не выполняется?

[Oleg Zubelevich]

на порядок производных салева и справа в уравнении посмотрите как следует

[пианист]

Согласен.
Поспешил.
Да, не подходит.
TripleLucker, прошу прощения, у Вас только существование, теорема КК не подходит к этому уравнению.

[TripleLucker]

Лектор рассказывал решение подобной задачи :
$\[\left\{ \begin{array}{l} {u_t} = {u_{xxxx}}\\ {\left. u \right|_{t = 0}} = {x^5} \end{array} \right.\]$

Он написал, что решение должно выглядеть так :
$u(t,x) = {e^{t\frac{{{d^4}}}{{d{x^4}}}}}{x^5}$

Затем разложил его в ряд и там получился явный вид, но я не понимаю, откуда оно взялось, поэтому не могу тут это применить.

[Red_Herring]

Как известно, решение характеристической задачи Коши для уравнений с постоянными коэффициентами неединственно. Но построение "диких" решений весьма сложно, они в данном случае не принадлежат даже $\mathcal{S}'$ и "физического смысла" не имеют (что бы это не означало)