Разложение многочлена на множители

[TorchTT]

Необходимо разложить многочлен на множители:

$a^1^0 + a^5 + 1$

Пробовал несколько вариантов, включая приведение к виду:

$x^2 + x + 1$

где

$x = a^5$

Не получается разложить на множители.

Подскажите, пожалуйста, как решить задачу?

[Someone]

На действительные множители?
Комплексные числа использовать можно?

[TorchTT]

Без комплексных чисел

UPD:

Если рассматривать формулу, как квадратный трехчлен, то $D = -3$ и разложение на множители невозможно.

Если прав, то буду рад подтверждению

[iifat]

Проще всего, думаю, разложить на комплексные (предложенным вами способом), а потом разложить получившиеся. Вы умеете извлекать корни из комплексных чисел?

[TorchTT]

Не умею)

Задачу надо решить без комлексных чисел. Не исключаю, что ответом может быть "нельзя".

[ex-math]

Нельзя не может быть. На квадратные трехчлены должен разложиться. Но без комплексных чисел их найти будет непросто.

[arseniiv]

TorchTT в сообщении #1026506 писал(а):

Если рассматривать формулу, как квадратный трехчлен, то $D = -3$ и разложение на множители невозможно.

Это говорит только о невозможности разложения на линейные относительно $a^5$ множители с вещественными коэффициентами.

[iifat]

TorchTT в сообщении #1026512 писал(а):

Задачу надо решить без комлексных чисел

Я б не взялся. Корни достаточно непростые, угадать тяжело. Только разложить на комплексные и соединить попарно в действительные многочлены 2 степени.

[Sonic86]

Надо умножить и разделить многочлен на $a^5-1$. В результате получим многочлены, тривиально раскладывающиеся в $\mathbb{C}$, и раскладывающиеся на круговые многочлены в $\mathbb{R}$. А дальше надо смотреть.
Выкладки надо спрятать и записать только ответ, а проверяющему сказать, что он приснился во сне. (вообще, следует понимать, что такие ограничения, навязыванные проверяющим, совершенно неестественны и очень правильно их игнорировать)
Ну или сделать такую полуалгоритмическую выкладку: заметить, что $x^d-1\mid x^{nd}-1$ и юзать ее.

TorchTT в сообщении #1026512 писал(а):

Не исключаю, что ответом может быть "нельзя".

ответ "можно". Данный многочлен делится на некоторый квадратный трехчлен над $\mathbb{Z}$.

[2old]

Вы, наверное, решаете вступительные в МГУ? Когда я поступал, тоже кучу их решал, пока готовился. Потом как-то уже сразу понятно, что делать, потому что количество извращений конечно) Здесь нужно рассмотреть $a^{15}-1$, заметить, что он делится на $a^3-1$. Но тогда ваш "хвост" должен делится на $a^2+a+1$. Ну и делить.

В целом, здравая стратегия это так, которую предложил Sonic86. Вам же достаточно даже научиться чисто формально обходиться с комплексными числами, а в вкладках после полученного ответа уже ясно что писать: добавил-вычел и вот так чудесно сгруппировались.

[TorchTT]

Цитата:

Вы, наверное, решаете вступительные в МГУ?

Я сейчас просто прорешиваю учебник "Алгебра" Шень и Гельфанд )

До этой задачи в учебнике не было рассказано про комплексные числа и тд, зачит эту задачу можно как-то сделать без них

Про комплексные понял - обязательно буду вспоминать позднее.


Sonic86

После умножения и деления на $a^5 - 1$ получил:

$\frac{a^1^5 - 1}{ a^5 -1 }$

Это можно считать корректным ответом?

[ИСН]

Ну, можно и лопату считать иконой, но вообще-то требовалось разложить на множители, а где у Вас множители? Смотрите, $a^{15}-1$ делится на $a^3-1$. Это 2old говорил. Используйте этот факт, иначе лопата, кирзовые сапоги, автомат.

[Someone]

TorchTT в сообщении #1026512 писал(а):

Задачу надо решить без комлексных чисел.

Тогда придётся извращаться по полной программе. Я Вам сейчас изложу последовательность извращений с контрольными точками.

Прежде всего, вынесем за скобку $a^5$: $a^{10}+a^5+1=a^5\left(a^5+1+\frac 1{a^5}\right)$. Об этом множителе пока забудем, но в самом конце решения о нём надо будет вспомнить.

Теперь обозначим $x=a+\frac 1a$. Чтобы выразить $a^5+1+\frac 1{a^5}$ через $x$, придётся раскрыть скобки в выражениях $\left(a+\frac 1a\right)^3$ и $\left(a+\frac 1a\right)^5$. Получится многочлен пятой степени, у которого мгновенно подбирается один корень, что позволяет разложить его на множители:

$$a^5+1+\frac 1{a^5}=(x+1)(x^4-x^3-4x^2+4x+1).$$

К сожалению, у оставшегося многочлена четвёртой степени рациональных корней нет. Общая теория уравнений четвёртой степени рекомендует сделать подстановку $x=y+\frac 14$, чтобы "убить" член с третьей степенью, в результате чего получается

$$x^4-x^3-4x^2+4x+1=y^4-\frac{35}8y^2+\frac{15}8y+\frac{445}{256}=\frac 1{256}(256y^4-35\cdot 32y^2+15\cdot 32y+445).$$

Множитель $\frac 1{256}$ временно отложим в сторону (потом его надо будет вернуть на место), а пока для удобства обозначим $z=4y$. Получим

$$256y^4-35\cdot 32y^2+15\cdot 32y+445=z^4-70z^2+120z+445.$$

Пусть $\alpha$ — некоторое число. Дальнейшие преобразования следующие:

$$z^4-70z^2+120z+445=(z^2+\alpha)^2-\left((2\alpha+70)z^2-120z+(\alpha^2-445)\right);\eqno(*)$$

число $\alpha$ нужно подобрать так, чтобы квадратный трёхчлен во второй скобке был точным квадратом двучлена (возможно, с иррациональными коэффициентами), а для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен $0$, что даёт для $\alpha$ уравнение третьей степени.

На наше счастье, это уравнение имеет целый корень, который можно подобрать (подсказка: подбирать целые корни нужно среди делителей свободного члена; не забудьте сократить общий множитель всех коэффициентов). Подставив найденный корень в правую часть равенства $(*)$, разложим этот многочлен в произведение двух многочленов второй степени, которые Вы должны уметь разлагать на множители. После этого делаем обратные подстановки и получаем искомое разложение (с многоэтажными радикалами в качестве коэффициентов).

[nnosipov]

Скорее всего, в задаче предполагалось найти какое-то частичное разложение, т.е. отщепить множитель $a^2+a+1$. Никакой строгой теории и алгоритмов в окрестности этой задачи нет, обсуждаются разные трюки, используемые при разложении многочленов на множители (в чём авторы, кстати, честно признаются в конце решения № 138).

[Someone]

Someone в сообщении #1026609 писал(а):

подбирать целые корни нужно среди делителей свободного члена

Забыл упомянуть, что отрицательные делители тоже нужно проверять.

nnosipov в сообщении #1026621 писал(а):

Скорее всего, в задаче предполагалось найти какое-то частичное разложение, т.е. отщепить множитель $a^2+a+1$.

Если задача для школьников, то наверняка так и есть. Я подумал: вдруг это студент…

А если это "продвинутый" школьник, пусть повозится для расширения кругозора.