2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:03 


12/10/13
8
Необходимо разложить многочлен на множители:

$a^1^0 + a^5 + 1$

Пробовал несколько вариантов, включая приведение к виду:

$x^2 + x + 1$

где

$x = a^5$

Не получается разложить на множители.

Подскажите, пожалуйста, как решить задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
На действительные множители?
Комплексные числа использовать можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:21 


12/10/13
8
Без комплексных чисел

UPD:

Если рассматривать формулу, как квадратный трехчлен, то $D = -3$ и разложение на множители невозможно.

Если прав, то буду рад подтверждению

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:28 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
Проще всего, думаю, разложить на комплексные (предложенным вами способом), а потом разложить получившиеся. Вы умеете извлекать корни из комплексных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:31 


12/10/13
8
Не умею)

Задачу надо решить без комлексных чисел. Не исключаю, что ответом может быть "нельзя".

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Нельзя не может быть. На квадратные трехчлены должен разложиться. Но без комплексных чисел их найти будет непросто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
TorchTT в сообщении #1026506 писал(а):
Если рассматривать формулу, как квадратный трехчлен, то $D = -3$ и разложение на множители невозможно.
Это говорит только о невозможности разложения на линейные относительно $a^5$ множители с вещественными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:45 
Заслуженный участник


16/02/13
3901
Владивосток
TorchTT в сообщении #1026512 писал(а):
Задачу надо решить без комлексных чисел
Я б не взялся. Корни достаточно непростые, угадать тяжело. Только разложить на комплексные и соединить попарно в действительные многочлены 2 степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 21:55 
Заслуженный участник


08/04/08
8519
Надо умножить и разделить многочлен на $a^5-1$. В результате получим многочлены, тривиально раскладывающиеся в $\mathbb{C}$, и раскладывающиеся на круговые многочлены в $\mathbb{R}$. А дальше надо смотреть.
Выкладки надо спрятать и записать только ответ, а проверяющему сказать, что он приснился во сне. (вообще, следует понимать, что такие ограничения, навязыванные проверяющим, совершенно неестественны и очень правильно их игнорировать)
Ну или сделать такую полуалгоритмическую выкладку: заметить, что $x^d-1\mid x^{nd}-1$ и юзать ее.

TorchTT в сообщении #1026512 писал(а):
Не исключаю, что ответом может быть "нельзя".
ответ "можно". Данный многочлен делится на некоторый квадратный трехчлен над $\mathbb{Z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 22:01 


07/04/15
244
Вы, наверное, решаете вступительные в МГУ? Когда я поступал, тоже кучу их решал, пока готовился. Потом как-то уже сразу понятно, что делать, потому что количество извращений конечно) Здесь нужно рассмотреть $a^{15}-1$, заметить, что он делится на $a^3-1$. Но тогда ваш "хвост" должен делится на $a^2+a+1$. Ну и делить.

В целом, здравая стратегия это так, которую предложил Sonic86. Вам же достаточно даже научиться чисто формально обходиться с комплексными числами, а в вкладках после полученного ответа уже ясно что писать: добавил-вычел и вот так чудесно сгруппировались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 22:27 


12/10/13
8
Цитата:
Вы, наверное, решаете вступительные в МГУ?


Я сейчас просто прорешиваю учебник "Алгебра" Шень и Гельфанд )

До этой задачи в учебнике не было рассказано про комплексные числа и тд, зачит эту задачу можно как-то сделать без них

Про комплексные понял - обязательно буду вспоминать позднее.


Sonic86

После умножения и деления на $a^5 - 1$ получил:

$\frac{a^1^5 - 1}{ a^5 -1 }$

Это можно считать корректным ответом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение12.06.2015, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Ну, можно и лопату считать иконой, но вообще-то требовалось разложить на множители, а где у Вас множители? Смотрите, $a^{15}-1$ делится на $a^3-1$. Это 2old говорил. Используйте этот факт, иначе лопата, кирзовые сапоги, автомат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение13.06.2015, 02:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
TorchTT в сообщении #1026512 писал(а):
Задачу надо решить без комлексных чисел.
Тогда придётся извращаться по полной программе. Я Вам сейчас изложу последовательность извращений с контрольными точками.

Прежде всего, вынесем за скобку $a^5$: $a^{10}+a^5+1=a^5\left(a^5+1+\frac 1{a^5}\right)$. Об этом множителе пока забудем, но в самом конце решения о нём надо будет вспомнить.

Теперь обозначим $x=a+\frac 1a$. Чтобы выразить $a^5+1+\frac 1{a^5}$ через $x$, придётся раскрыть скобки в выражениях $\left(a+\frac 1a\right)^3$ и $\left(a+\frac 1a\right)^5$. Получится многочлен пятой степени, у которого мгновенно подбирается один корень, что позволяет разложить его на множители: $$a^5+1+\frac 1{a^5}=(x+1)(x^4-x^3-4x^2+4x+1).$$
К сожалению, у оставшегося многочлена четвёртой степени рациональных корней нет. Общая теория уравнений четвёртой степени рекомендует сделать подстановку $x=y+\frac 14$, чтобы "убить" член с третьей степенью, в результате чего получается $$x^4-x^3-4x^2+4x+1=y^4-\frac{35}8y^2+\frac{15}8y+\frac{445}{256}=\frac 1{256}(256y^4-35\cdot 32y^2+15\cdot 32y+445).$$
Множитель $\frac 1{256}$ временно отложим в сторону (потом его надо будет вернуть на место), а пока для удобства обозначим $z=4y$. Получим $$256y^4-35\cdot 32y^2+15\cdot 32y+445=z^4-70z^2+120z+445.$$
Пусть $\alpha$ — некоторое число. Дальнейшие преобразования следующие: $$z^4-70z^2+120z+445=(z^2+\alpha)^2-\left((2\alpha+70)z^2-120z+(\alpha^2-445)\right);\eqno(*)$$ число $\alpha$ нужно подобрать так, чтобы квадратный трёхчлен во второй скобке был точным квадратом двучлена (возможно, с иррациональными коэффициентами), а для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен $0$, что даёт для $\alpha$ уравнение третьей степени.

На наше счастье, это уравнение имеет целый корень, который можно подобрать (подсказка: подбирать целые корни нужно среди делителей свободного члена; не забудьте сократить общий множитель всех коэффициентов). Подставив найденный корень в правую часть равенства $(*)$, разложим этот многочлен в произведение двух многочленов второй степени, которые Вы должны уметь разлагать на множители. После этого делаем обратные подстановки и получаем искомое разложение (с многоэтажными радикалами в качестве коэффициентов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение13.06.2015, 06:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8287
Скорее всего, в задаче предполагалось найти какое-то частичное разложение, т.е. отщепить множитель $a^2+a+1$. Никакой строгой теории и алгоритмов в окрестности этой задачи нет, обсуждаются разные трюки, используемые при разложении многочленов на множители (в чём авторы, кстати, честно признаются в конце решения № 138).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разложение многочлена на множители
Сообщение13.06.2015, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17747
Москва
Someone в сообщении #1026609 писал(а):
подбирать целые корни нужно среди делителей свободного члена
Забыл упомянуть, что отрицательные делители тоже нужно проверять.

nnosipov в сообщении #1026621 писал(а):
Скорее всего, в задаче предполагалось найти какое-то частичное разложение, т.е. отщепить множитель $a^2+a+1$.
Если задача для школьников, то наверняка так и есть. Я подумал: вдруг это студент…

А если это "продвинутый" школьник, пусть повозится для расширения кругозора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group