Потенциальное поле и многообразие

[iagsav]

Здравствуйте!

Скажите пожалуйста, является ли потенциальное поле бесконечно гладким многообразием?

[Munin]

Поле является функцией. А многообразие - это кое-что другое (типа линии, поверхности и т. п.).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Munin]

Раз уж мы в этом разделе, то iagsav, не приведёте ли определения понятий "потенциальное поле" и "гладкое многообразие"?

[iagsav]

Векторное поле $A$ назывется потенциальным, если его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля:
$A = grad \phi$

Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля A.

Электрический заряд образует электрическое поле, которое является векторным. Электрическое поле является потенциальным полем.

Многообразие - это многомерное обобщение понятий линии и поверхности без особых точек. Множество М называется многообразием,
если каждая точка имеет открытую окрестность, допускающую непрерывное взаимное однозначное отображение на открытое множество
в $R^n$ для некоторого $n$. Дифференцируемость - главное свойство и условие многообразия,
позволяющее выявить его структуру. Класс $C^\infty$ - многообразие аналитических (гармонических) функций,
бесконечно гладкое многообразие.

-- 09.06.2015, 22:44 --

Моделью бесконечно гладкого многообразия могут служить любые среды,
удовлетворяющие требованию бесконечной гладкости.

Одной из таких моделей является сплошная среда.

[Munin]

iagsav в сообщении #1025407 писал(а):

Векторное поле $A$ назывется потенциальным, если его можно представить в виде градиента некоторого скалярного поля:
$A = grad \phi$
Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля A.
Электрический заряд образует электрическое поле, которое является векторным.

Тут всё верно.

iagsav в сообщении #1025407 писал(а):

Электрическое поле является потенциальным полем.

Нет. Только в электростатическом случае.

iagsav в сообщении #1025407 писал(а):

Многообразие - это многомерное обобщение понятий линии и поверхности без особых точек. Множество М называется многообразием, если каждая точка имеет открытую окрестность, допускающую непрерывное взаимное однозначное отображение на открытое множество в $R^n$ для некоторого $n$. Дифференцируемость - главное свойство и условие многообразия, позволяющее выявить его структуру.

Тут опять всё верно.

iagsav в сообщении #1025407 писал(а):

Класс $C^\infty$ - многообразие аналитических (гармонических) функций, бесконечно гладкое многообразие.

Тут полный абзац. Мешанина функана и дифгема, половина слов из одного, половина из другого, вместе - полная бессмыслица.

iagsav в сообщении #1025407 писал(а):

Моделью бесконечно гладкого многообразия могут служить любые среды, удовлетворяющие требованию бесконечной гладкости.
Одной из таких моделей является сплошная среда.

Совершенно неверно.

Теперь исправляйте.

[iagsav]

Спасибо!

[Munin]

В общем, ваш вопрос из серии "правда ли, что воробей - это дерево?". Потом вы приводите хорошие описания, что такое дерево, что такое воробей, и ещё какой-то мусор вперемешку с ними.

[iagsav]

Цитата:

Поле является функцией. А многообразие - это кое-что другое (типа линии, поверхности и т. п.).

но ведь поверхность задаётся функцией, так что особых отличий то тут нет.
или я ошибаюсь?

[Munin]

iagsav в сообщении #1025564 писал(а):

но ведь поверхность задаётся функцией, так что особых отличий то тут нет.
или я ошибаюсь?

Да, в общем. Некоторые поверхности можно задать функцией, но только некоторые. Вообще, чтобы задать поверхность функцией, приходится прибегать ко многим выкрутасам. И наоборот, задать поверхность функциями можно по-разному, так что в общем и целом - это два разных предмета, каждый со своими свойствами, живёт в своём мире.

Функции изучает такой раздел математики, как математический анализ. А поверхности - другой раздел, дифференциальная геометрия. В общем, функции используются при изучении поверхностей, как инструмент для работы. Функции "проще", поверхности "сложнее и непонятнее". Но с другой стороны, мир функций в чём-то и "богаче, разнообразнее", а на поверхности наложены бо́льшие ограничения, какими они могут быть.

И это всё разделы математики. А не физика. В физике используется понятие поля, и поле - это просто функция. Да, часто гладкая функция, хотя не всегда. Но понятие гладкости - оно совсем широкое, оно относится и к функциям, и к поверхностям.
Для функций:
- понятие гладкости означает существование и непрерывность производной в каждой точке;
- зрительно это можно представить себе, как отсутствие изломов на непрерывном графике.
Для линий и поверхностей:
- гладкость означает отсутствие изломов.

Гладкость бывает "разного сорта". Обычно говорят о просто гладкости, и она для функций означает непрерывность первой производной. Но можно взять и вторую производную. Если потребовать её непрерывности - то есть, гладкости самой первой производной - то получится гладкость второго порядка. Зрительно её представить себе труднее: это отсутствие резких изменений радиуса кривизны. Например, линия, составленная из нескольких прямых отрезков и дуг окружностей, не гладкая во втором порядке. Аналогично, можно продолжить дальше, и потребовать гладкости в $n$-ном порядке, и даже до бесконечности.

Если порядок гладкости конечный, то после взятия производной, он снижается на единицу (очевидно). В физике три величины связаны между собой через взятие производной:

$$(\text{потенциал})\,\,\varphi\xrightarrow{\operatorname{grad}}(\text{поле})\,\,\vec{E}\xrightarrow{\operatorname{div}}(\text{плотность заряда})\,\,\rho.$$

Обычно накладываются такие требования:
- потенциал непрерывный, но не обязательно гладкий, $\varphi\in C^0$;
- поле даже не непрерывно, $\vec{E}\not\in C^0$;
- плотность заряда, в результате, вообще не обязательно существует в каждой точке (конечная).
Это нужно для того, чтобы изображать довольно часто встречающиеся в физике объекты: точечные заряды, заряженные линии, заряженные поверхности. Точечный заряд не может быть изображён функцией плотности заряда: если считать $\rho=\lim\dfrac{\Delta q}{\Delta V},$ то дробь уходит в бесконечность. (При помощи некоторой более сложной математической теории, "обобщённых функций", удаётся лучше описать этот случай.) Так что, как видите, в теории электричества поле (как функция) даже не гладкое.

[olenellus]

В принципе, любое поле - это сечение расслоения над исходным многообразием. Т. е. если у нас есть расслоение $\pi\colon E \to M$, то поле это функция $s\colon M \to E$, такая что $\pi\circ s = \operatorname{id}_M$ (сечение можно рассматривать и локально). Можно рассмотреть график сечения $s$, обозначим его $\Gamma(s)$, как подмногообразие многообразия $E$. Ясно, что $\dim \Gamma(s) = \dim M$, а если исходное расслоение гладко, сечение (локально) гладко, то и график, как многообразие, будет (локально) гладким. В такой интерпретации о поле можно говорить как о многообразии, а именно, о подмногообразии тотального пространства расслоения, диффеоморфно проектирующемся на базу. Только зачем это надо?

[iagsav]

Цитата:

В принципе, любое поле - это сечение расслоения над исходным многообразием. Т. е. если у нас есть расслоение $\pi\colon E \to M$, то поле это функция $s\colon M \to E$, такая что $\pi\circ s = \operatorname{id}_M$ (сечение можно рассматривать и локально). Можно рассмотреть график сечения $s$, обозначим его $\Gamma(s)$, как подмногообразие многообразия $E$. Ясно, что $\dim \Gamma(s) = \dim M$, а если исходное расслоение гладко, сечение (локально) гладко, то и график, как многообразие, будет (локально) гладким. В такой интерпретации о поле можно говорить как о многообразии, а именно, о подмногообразии тотального пространства расслоения, диффеоморфно проектирующемся на базу. Только зачем это надо?

Переход от поля к многообразию позволит изучать поле с помощью методов дифференциальной геометрии.

Вот тут написано о применении:
http://www.mathnet.ru/links/c804156cb2b0a8e85501d0c403989ae3/ufn102.pdf

Спасибо за ответ!

[olenellus]

Я допустил вольность речи. То, что я назвал графиком, надо понимать не как график в теории множеств, а как образ всего многообразия $M$ под действием сечения $s$, т. е. $\Gamma(s) \equiv s(M) \subset E$. В математике обычно под графиком принято понимать подмножетсво $M\times E$.

[Munin]

iagsav в сообщении #1025676 писал(а):

Переход от поля к многообразию позволит изучать поле с помощью методов дифференциальной геометрии.
Вот тут написано о применении:
http://www.mathnet.ru/links/c804156cb2b0a8e85501d0c403989ae3/ufn102.pdf

Это чё-то очень абстрактное и к делу не относится.

Вы продолжаете тащить в рот ерунду, не стремясь разобраться даже в том, что вам сказали.

Боюсь, такие участники быстро вступают в конфликт с установленными порядками (с уважением относиться к знаниям, к объяснениям, к аргументации собеседников, стремиться научиться новому, и наполнить голову связными и осмысленными знаниями), с правилами и с модераторами. В конечном счёте всё кончается грустно: бан, и форум расстаётся с участником. Стоит сразу заранее подумать, а чего вам здесь хочется достичь, и правильным ли путём вы этого добиваетесь.

(Оффтоп)

olenellus в сообщении #1025668 писал(а):

В такой интерпретации о поле можно говорить как о многообразии

Правда, при этом оно изоморфно базе, и не сохраняет никакой структуры, и вообще никакой информации от поля. Так что, слово "поле" тут чисто для красоты, получается.

[iagsav]

Скажите пожалуйста, верны ли мои рассуждения:

1. Электрический заряд образует электростатическое поле.
2. Электростатическое поле является векторным. Следовательно, можно говорить о существовании векторного пространства.
3. Одним из примеров многообразия является векторное пространство. См. книгу Б.Шутц. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
4. Следовательно, электростатическое поле, являющееся потенциальным, можно интерпретировать как бесконечно гладкое многообразие.