но ведь поверхность задаётся функцией, так что особых отличий то тут нет.
или я ошибаюсь?
Да, в общем. Некоторые поверхности можно задать функцией, но только некоторые. Вообще, чтобы задать поверхность функцией, приходится прибегать ко многим выкрутасам. И наоборот, задать поверхность функциями можно по-разному, так что в общем и целом - это два разных предмета, каждый со своими свойствами, живёт в своём мире.
Функции изучает такой раздел математики, как математический анализ. А поверхности - другой раздел, дифференциальная геометрия. В общем, функции используются при изучении поверхностей, как инструмент для работы. Функции "проще", поверхности "сложнее и непонятнее". Но с другой стороны, мир функций в чём-то и "богаче, разнообразнее", а на поверхности наложены бо́льшие ограничения, какими они могут быть.
И это всё разделы математики. А не физика. В физике используется понятие поля, и поле - это просто функция. Да, часто гладкая функция, хотя не всегда. Но понятие гладкости - оно совсем широкое, оно относится и к функциям, и к поверхностям.
Для функций:
- понятие гладкости означает существование и непрерывность производной в каждой точке;
- зрительно это можно представить себе, как отсутствие изломов на непрерывном графике.
Для линий и поверхностей:
- гладкость означает отсутствие изломов.
Гладкость бывает "разного сорта". Обычно говорят о просто гладкости, и она для функций означает непрерывность
первой производной. Но можно взять и вторую производную. Если потребовать её непрерывности - то есть, гладкости самой первой производной - то получится гладкость второго порядка. Зрительно её представить себе труднее: это отсутствие резких изменений радиуса кривизны. Например, линия, составленная из нескольких прямых отрезков и дуг окружностей, не гладкая во втором порядке. Аналогично, можно продолжить дальше, и потребовать гладкости в

-ном порядке, и даже до бесконечности.
Если порядок гладкости конечный, то после взятия производной, он снижается на единицу (очевидно). В физике три величины связаны между собой через взятие производной:

Обычно накладываются такие требования:
- потенциал непрерывный, но не обязательно гладкий,

;
- поле даже не непрерывно,

;
- плотность заряда, в результате, вообще не обязательно существует в каждой точке (конечная).
Это нужно для того, чтобы изображать довольно часто встречающиеся в физике объекты: точечные заряды, заряженные линии, заряженные поверхности. Точечный заряд не может быть изображён функцией плотности заряда: если считать

то дробь уходит в бесконечность. (При помощи некоторой более сложной математической теории, "
обобщённых функций", удаётся лучше описать этот случай.) Так что, как видите, в теории электричества поле (как функция) даже не гладкое.