Однородное диф. уравнение

[SC2TM]

Здравствуйте! Есть уравнение $y' =\frac{x + y}{x - y}, y(1)=1$. Я поделил всё на $x$ и делаю замену $y = ux, y' = u'x + u$. В ходе решения получаю $arctg(u) - \frac{1}{2}ln(1 + u^2) = lnx + C$. Как я понимаю, дальше нужно просто подставить $\frac{y}{x}$ вместо $u$, тогда я получу $arctg \frac{y}{x} - \frac{1}{2}ln(1 + (\frac{y}{x})^2) = lnx + C$. А как найти частное решение уравнения, ну именно что бы было $y =$ "какой то ответ"? Что дальше нужно делать?

[Otta]

SC2TM в сообщении #1025289 писал(а):

ну именно что бы было $y =$ "какой то ответ"?

Это 1) не всегда нужно, 2) не всегда возможно.

SC2TM в сообщении #1025289 писал(а):

Что дальше нужно делать?

Подставить начальные условия в решение и найти константу, как всегда.

[SC2TM]

Подставил. Получилось $C = \frac{\Pi}{4} - \frac{1}{2}ln2$. Всё так?

[Otta]

Ну если до тех пор все так, то да. Я решение не проверяла.

[svv]

Нельзя ли скомбинировать $\frac{1}{2}\ln(1 + (\frac{y}{x})^2)$ и $\ln x$ ?

SC2TM, логарифм и арктангенс будут выглядеть красивее, если в коде писать перед именем функций backslash:
\arctg \frac y x
$\arctg \frac y x$

[SC2TM]

Так, а как должен выглядеть ответ то тут? Я думал, что надо найти именно $y$, ведь нужно найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Теперь у меня есть найденная константа, а вот дальше я не совсем понимаю что нужно делать

[svv]

Вы и нашли частное решение. Оно записано в неявном виде, в явном не получится.

Кстати (считайте, что к заданию это не относится). Уравнение можно сильно упростить и, так сказать, прояснить его смысл, если, понимая $x$ и $y$ как декартовы координаты, перейти к полярным $(\rho, \varphi)$. Получится
$d\rho=\rho\,d\varphi$
Это уравнение логарифмической спирали.

-- Вт июн 09, 2015 18:37:31 --

Что получилось в итоге?

[SC2TM]

Просто написать $y = \arctg(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2}\ln(1 + (\frac{y}{x})^2) = \ln x + \frac{\Pi}{4} - \frac{1}{2}ln2$, заменить игрики и иксы на единицы и всё? Или мне нужна только правая часть?

[svv]

Две части равны друг другу, но игрек им не равен, это Вы придумали.
$\pi$ пишется \pi
Можно было всё-таки упростить выражение, учитывая, что
$\frac{1}{2}\ln(1 + (\frac{y}{x})^2) + \ln x = \frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2) $

SC2TM в сообщении #1025327 писал(а):

заменить игрики и иксы на единицы и всё?

Этого вообще не понял. Решение ДУ, даже частное, это всё-таки функция, пусть и заданная неявно: $F(x, y)=0$.

[SC2TM]

Да я и сам не понимаю целиком. Поэтому и написал сюда. Что именно будет ответом в данном ДУ?

[Otta]

SC2TM в сообщении #1025335 писал(а):

Что именно будет ответом в данном ДУ?

svv в сообщении #1025331 писал(а):

функция, пусть и заданная неявно: $F(x, y)=0$.

Вы уравнение, задающее эту функцию, получили. Осталось выписать ))

[SC2TM]

Я не очень умный. Что то из того что я писал было окончательным (в данном случае) решением и если да, то что именно? А то уже котелок плохо варит)

-- 09.06.2015, 19:38 --

А то я сам тему изучал, и вот до конца не разобрался что именно мне нужно находить и как, понял только частично как решать

[SC2TM]

Ответ $y = \ln x + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$ ?

[DiMath]

SC2TM
Ответ $\arctg(\frac{y}{x}) = \frac{1}{2}\ln(\frac{x^2+y^2}{2})+\frac{\pi}{4} $
Вы не сможете получить соотношение $y(x) =...$ , ибо в Вашем случае, функция задается неявно.