доказать взаимно однозначное соответствие

[illuminates]

Munin
А вот Вы говорите, что Рубакова хватит на всю жизнь. Всё что я там прочитал - я понял. НО. Упражнения которые предлагались мне не особо дались. Ну например доказать: $SO(n)/SO(n-1)=S^{n-1}$, где $S^{n}$ - n-ая сфера. Проблема, что я даже не знаю как поступиться к таким заданиям. Всё же требуется ещё что то по группам.

[Munin]

Нет, вот как раз по группам для этого ничего читать не надо. Достаточно базовых курсов линала и матана.

[illuminates]

В теорию матана я не углублялся, а вот линиан я хорошенько изучил. Но требуемого нигде не видел. В Зориче или "современой геометрии" Дубровина Новикова Фоменко или "Современные геометрические структуры и поля" Новикова, Тайманова это есть?

[Munin]

Тут надо не по книжкам рыскать, а собственную голову применять.

Для начала, какие матрицы образуют $SO(n)/SO(n-1)$? Вы это вычислить можете?

[illuminates]

Munin в сообщении #1024395 писал(а):

Вы это вычислить можете?

Что я могу вообще сказать: $SO^TSO=1$ и $detSO=1$. Правое факторпространство образовано по закону $g_1=g_2 h$, где $g_1$ и $g_2$ принадлежат $SO(n)$, а $h$ принадлежит $SO(n-1)$.
Идея дальше у меня такова. Расписываем $g_1=g_2 h$ в матрично виде и выражаем отсюда все $h$. Это и будет ответ на Ваш вопрос. У меня за спиной нет опыта решения таких примеров...

[Munin]

illuminates в сообщении #1024687 писал(а):

Что я могу вообще сказать: $SO^TSO=1$ и $detSO=1$.

Матрицы лучше обозначать одной буквой, а $SO$ - это обозначение группы.

illuminates в сообщении #1024687 писал(а):

Идея дальше у меня такова. Расписываем $g_1=g_2 h$ в матрично виде и выражаем отсюда все $h$. Это и будет ответ на Ваш вопрос.

Как говорится, "осталось начать да кончить". Давайте реализуйте эту вашу идею. И почему вы, не сделав ни малейшего шага по решению самой задачи, начинаете скулить и жаловаться, что вам книжек каких-то недодали?

Книжки - они не для того, чтобы их читать. Они для того, чтобы по ним учиться. Работать.

illuminates в сообщении #1024687 писал(а):

У меня за спиной нет опыта решения таких примеров...

Тут кто-то хвастался, что линал "хорошенько изучил".

[illuminates]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1024711 писал(а):

Тут кто-то хвастался, что линал "хорошенько изучил".

Я не хвастался, я констатировал факт, для того что бы услышать от вас рекомендации по литературе. Если приходите к врачу с болью в голове, то наверное стоит сказать что вчера получили по голове - чтобы врач вас на ренген отправил, а не выписал таблеток.

Зачем выкладывать на форум не правильное решение? Вы подтвердили что мысли не бредовые. Теперь и выложить можно. Я работал с частным случаем n=2.

$$ \begin{bmatrix} g_1^1 & g_1^2 \\ g_1^3 & g_1^4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_2^1 & g_2^2 \\ g_2^3 & g_2^4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h^1 & h^2 \\ h^3 & h^4 \end{bmatrix} $$

Отсюда находим что:
$h^1=\frac {g_{1}^{1} g_{2}^{4} -g_{2}^{1} g_{1}^{3}} {g_{2}^{1}g_{2}^{4}-g_{2}^{1}g_{2}^{3}}$

$h^2=\frac {g_1^2g_2^4-g_2^2g_1^4} {g_2^1g_2^4-g_2^2g_2^3}$

$h^3=\frac {g_1^3} {g_2^4} - \frac {g_2^3} {g_2^4} h^1$

$h^4=\frac {g_1^4} {g_2^4} - \frac {g_2^3} {g_2^4} h^2$

[Nemiroff]

illuminates в сообщении #1024687 писал(а):

Правое факторпространство образовано по закону $g_1=g_2 h$, где $g_1$ и $g_2$ принадлежат $SO(n)$, а $h$ принадлежит $SO(n-1)$.

Достаточно некрасиво написано.

illuminates в сообщении #1024955 писал(а):

Я работал с частным случаем n=2.

Это хорошо. А после этого что за ад?

[Munin]

illuminates в сообщении #1024955 писал(а):

Я не хвастался, я констатировал факт, для того что бы услышать от вас рекомендации по литературе.

Простите, для этого надо было констатировать другой факт: "дайте литературу".

Ну, литературы по линалу навалом другие присоветуют, да и поиск по форуму работает. Я знаю Ильина-Позняка, например, но кому-то по местным высоким стандартам он покажется довольно топорным. Гантмахер.

Дело-то не в литературе. А в том, чтобы почерпнуть из неё хотя бы базовые навыки работы с матрицами.

illuminates в сообщении #1024955 писал(а):

Зачем выкладывать на форум не правильное решение?

Затем, чтобы вас научили исправить его. Тут все так делают. Даже более того, если не выложите неправильное решение - то и не помогут.

illuminates в сообщении #1024687 писал(а):

Правое факторпространство образовано по закону $g_1=g_2 h$, где $g_1$ и $g_2$ принадлежат $SO(n)$, а $h$ принадлежит $SO(n-1)$.
Идея дальше у меня такова. Расписываем $g_1=g_2 h$ в матрично виде и выражаем отсюда все $h$. Это и будет ответ на Ваш вопрос.

Итак. Всё логично до слов "...и выражаем". Выражать отсюда надо не $h.$ Они вам вообще даны: "$h$ принадлежит $SO(n-1)$".

Выражать вам надо другое. А вот что именно? Тут надо подумать над группами. Что такое вообще фактор-группа? Какую роль в ней играют найденные вами $g_1$ и $g_2$?

[Xaositect]

Munin в сообщении #1024976 писал(а):

Выражать вам надо другое. А вот что именно? Тут надо подумать над группами. Что такое вообще фактор-группа? Какую роль в ней играют найденные вами $g_1$ и $g_2$?

Правильный вопрос другой - какого черта мы вообще говорим о фактор-группах? $SO(n-1)$ вообще говоря не нормальна в $SO(n)$, да и сфера - это не группа. В данном случае речь идет не о фактор-группе, а о пространстве орбит.

[Munin]

Точно!

[g______d]

Группа $SO(n)$ транзитивно действует на сфере $S^n$. Подгруппа изотропии любой точки изоморфна $SO(n-1)$. Поэтому ...

[Munin]

g______d
Ну это же мозгами думать надо...

[мат-ламер]

illuminates в сообщении #1024306 писал(а):

Ну например доказать: $SO(n)/SO(n-1)=S^{n-1}$, где $S^{n}$ - n-ая сфера.

illuminates
Знак равенства вы здесь как понимаете?

[illuminates]

Nemiroff в сообщении #1024958 писал(а):

А после этого что за ад?

ну элементы $g_1$, $g_2$, $h$ это же матрицы?

мат-ламер в сообщении #1025162 писал(а):

Знак равенства вы здесь как понимаете?

Изоморфизм.

Xaositect в сообщении #1025002 писал(а):

Правильный вопрос другой - какого черта мы вообще говорим о фактор-группах? $SO(n-1)$ вообще говоря не нормальна в $SO(n)$, да и сфера - это не группа.

Возможно я вёл всех в заблудение. Давайте сначала. У рубакова есть две похожих задачи.
Первая задача сформулирована сразу же после введения факторпространства и звучит так: "показать, что имеется взаимно однозначное соответствие фактор-пространства $SO(3)$ по этой подгруппе и двумерной сферы, $SO(3)/SO(2)=S^2$"
взаимно однозначное соответствие=изоморфизму?
Вторая задача формулируется после определения стационарной подгрупы $H$ ($F(h)a_0=a_0$) и однородного пространства $A$ ($a'=F(g)a$, где $a$ и $a' \in A$) связанных изоморфизмом: $G/H=A$. Она звучит следующим образом:
"Показать, что $SO(n)/SO(n-1)=S^{n-1}$, где $S^n$ - n-ая сфера и вложение $SO(n-1)$ в $SO(n)$ осуществляется как:

$$\begin{bmatrix} SO(n-1) & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \subset SO(n)$$

" При этом идёт о коментарий о том, что здесь разговор о стационарной группе $SO(n-1)$ и однородном прострнстве $S^{n-1}$.
Не сильно понятно что за вложение и с чем его едят.

Xaositect в сообщении #1025002 писал(а):

В данном случае речь идет не о фактор-группе, а о пространстве орбит.

О пространстве орбит ничегоне знаю. Да и фактор-групу понимаю как то же самое что и факторпространство

(Оффтоп)

Мне кажется что наша переписка не соответствует названию темы. Не нарушает ли это правила форума?