доказать взаимно однозначное соответствие

[GDTD]

illuminates, Вам нужно установить гомеоморфизм или диффеоморфизм между $SO(n)/SO(n-1)$ и $S^{n-1}$? Гомеоморфизм устанавливается просто. А вообще, диффеоморфизм здесь есть прямое следствие более общей теоремы.

[illuminates]

Munin в сообщении #1025665 писал(а):

А процитированная вами формула
Цитата:

$$\begin{bmatrix} SO(n-1) & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \subset SO(n)$$

что значит?

Xaositect по этому поводу сказал, что "$SO(n)$ состоит из матриц размера $n$. $SO(n-1)$ состоит из матриц размера $n -1$. Вообще говоря они друг с другом не связаны, для того, чтобы рассматривать факторпространство, надо указать, каким именно образом мы будем элементы $SO(n-1)$ рассматривать как элементы $SO(n)$."

g______d в сообщении #1025835 писал(а):

А, действительно, какие?

Как я говорил: "Матрицы размером n на n и n-1 на n-1"

Munin в сообщении #1025665 писал(а):

illuminates в сообщении #1025638
писал(а):
Я невижу никакой разницы между изоморфизмом и взаимно однозначное соответствием (= отображением). Типа при изоморфизме должна сохранятся какая-то структура?
Типа да. Не какая-то, а любая. (Смотря, об изоморфизме каких объектов идёт речь. Если изоморфны группы - то групповая операция. Если пространства - то топология, плюс остальные геометрические структуры.)

Насколько сейчас я понял, сохранение операции будет не только при изоморфизме, а и вообще при гомоморфизме?

Munin в сообщении #1025665 писал(а):

плюс остальные геометрические структуры

А какие именно не подскажите?

Nemiroff в сообщении #1025661 писал(а):

На правах рекламы post931190.html#p931190

Спасибо!!! А есть ещё какая-нибудь, столь же крутая реклама? (позволяющая с нуля понять разные интересные штуки)
И попутный вопрос. Гомоморфизм и гомеоморфизм очень похожие штуки? Просто в первом требуется взаимо однозначное соотвествие + сохранение структуры, а во втором взаимо однозначное соотвествие + гладкость (непрерывность) отображения?

GDTD в сообщении #1025933 писал(а):

Вам нужно установить гомеоморфизм или диффеоморфизм между $SO(n)/SO(n-1)$ и $S^{n-1}$?

гомоморфизм на сколько я понимаю

[Munin]

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):

Xaositect по этому поводу сказал, что

А я не его, я вас спрашиваю. Его ответ - это вам только подсказка.

[arseniiv]

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):

А какие именно не подскажите?

Какие есть. Если кроме топологии ничего не задано — то никакие. Если есть ориентация, ориентацию. Если есть метрика — метрику, и т. д.. Каких только структур вообще не бывает, хотя при желании их и гомоморфизм можно описать единообразно.

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):

Насколько сейчас я понял, сохранение операции будет не только при изоморфизме, а и вообще при гомоморфизме?

Да; а изоморфизм — это гомоморфизм, к которому есть обратный.

[Kirill_Sal]

Не будет ли проще всего доказать гомеоморфность по индукции?
Вообще, в любом случае начать следует со случая $n=3$. IMHO есть 3 пути к решению этой задачи: 1) строгий, но требующей некоторой предварительной подготовки по теории групп; 2) нестрогий, наглядно-геометрический; 3) индукция. Т.е. illuminates IMHO прав насчет того, что базовых знаний из линала и аналитической геометрии не совсем хватает для таких задач: 2-й способ не тянет на полноценное док-во, 3-й работает далеко не всегда.
Я эту задачу решал и вроде как справился, но разрешается ли написать решение?
illuminates гладкость Вам в этой задача не нужна, только взаимно-однозначное соответствие (я бы назвал это естественным отождествлением, как говорят в топологии).

[GDTD]

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):

GDTD в сообщении #1025933 писал(а):

Вам нужно установить гомеоморфизм или диффеоморфизм между $SO(n)/SO(n-1)$ и $S^{n-1}$?

гомоморфизм на сколько я понимаю

Неправильно понимаете. Во-первых, Вам уже писали, что $SO(n-1)\subset SO(n)$ не является нормальной подгруппой. Во-вторых, $S^{n-1}$, вообще говоря, не имеет групповой структуры, поэтому о гомоморфизме речи быть не может. За $SO(n)/SO(n-1)$ здесь обозначено пространство орбит.

[Kirill_Sal]

GDTD
На самом деле в задаче требовалось только установить гомеоморфизм.
Но раз уж речь пошла о гомоморфизмах и изоморфизмах, то у меня возник другой вопрос. Сфера $S^2$ групповой структурой не снабжена, но является 2-х мерным многообразием; в то же время структурой многообразия снабжен смежный класс $SO(3)/SO(2)$. Эти множества можно считать изоморфными как многообразия? (Или как правильно определить изоморфизм многообразий?).
Вроде с геометрической точки зрения вполне мотивированный вопрос.

[GDTD]

Kirill_Sal в сообщении #1026605 писал(а):

GDTD
На самом деле в задаче требовалось только установить гомеоморфизм.
структурой многообразия снабжен смежный класс $SO(3)/SO(2)$.

Смежный класс - это мне многообразие, это подмножество группы.

Цитата:

Эти множества можно считать гомоморфными как многообразия? (Или как правильно определить гомоморфизм многообразий?).
Вроде с геометрической точки зрения вполне мотивированный вопрос.

Какой гомоморфизм? О нем вообще речи быть не может.

[Kirill_Sal]

GDTD
Ну так, а группы Ли не снабжены структурой многообразия разве?

[GDTD]

Kirill_Sal в сообщении #1026608 писал(а):

GDTD
Ну так, а группы Ли не снабжены структурой многообразия разве?

Снабжены. Но где Вы группу ли здесь увидели (кроме $SO(n)$)?

[Kirill_Sal]

GDTD
Да, понял. Я совершенно неправильно подумал, что смежный класс - подмногообразие.

[Nemiroff]

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):

Гомоморфизм и гомеоморфизм очень похожие штуки? Просто в первом требуется взаимо однозначное соотвествие + сохранение структуры, а во втором взаимо однозначное соотвествие + гладкость (непрерывность) отображения?

Не гомоморфизм, а изоморфизм. Для гомоморфизма взаимная однозначность не нужна. Гомоморфизм сохраняет операцию (к примеру, групповую). Групповой изоморфизм (так уж сложилось, что конкретно слово изоморфизм используют в разных местах, поэтому отдельно пишу "групповой") сохраняет операцию и взаимно однозначен.
Гомеоморфизм сохраняет топологические свойства. Наверное, можно об этом думать так: гомоморфизм применим к алгебраическим структурам и сохраняет, соответственно, алгебраическую структуру множества — операции; гомеоморфизм применим к топологическим пространствам и сохраняет геометрию множества (причем взаимно однозначно).
Гомеоморфизм он (несмотря на названия) скорее должен быть отождествлён в голове с изоморфизмом, а не с гомоморфизмом.

illuminates в сообщении #1026476 писал(а):

А есть ещё какая-нибудь, столь же крутая реклама? (позволяющая с нуля понять разные интересные штуки)

Спасибо на добром слове. Зависит от штуки. Вы попользуйтесь поиском, тут многие интересные дядьки (и девушки ) много умных и интересных вещей писали.

(Оффтоп)

В своё время запоминал страшные слова (для функций) вот так:

Nemiroff в сообщении #942581 писал(а):

$f:A \to B$
Если у каждой точки $B$ не более одного прообраза, то это инъекция.
Если у каждой точки $B$ не менее одного прообраза, то это сюръекция.
Если у каждой точки $B$ ровно один прообраз, то это биекция.

[Padawan]

А как вводятся координаты на фактор-пространстве группы Ли по её подгруппе в общем случае?

[Xaositect]

В общем случае там может быть все плохо, насколько я помню. Если подгруппа хорошая (компактная, например), то мы можем выбрать локальные координаты так, чтобы часть координат шла "вдоль орбиты", т.е. $x = gy$ на карте тогда и только тогда, когда $x_1 = y_1, x_2 = y_2, \dots, x_{k} = y_{k}$.

[Padawan]

Xaositect
Ссылку не дадите?