Количество числовых действий

[Профессор Снэйп]

luitzen писал(а):

Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

$A(-1,x,y) = x+1$.

Дальше, похоже, никак

Добавлено спустя 20 минут 8 секунд:

luitzen писал(а):

Оказывается, что у $A(3, x, y)$ есть собственное имя. Она так и называется — четвертование

По ссылке, которую приводит luitzen, можно найти ссылку и на саму функцию Аккермана. Вот она: http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function

Больше всего меня там улыбнуло следующее:

Цитата:

In popular culture

A question involving this function was posed at the International Mathematical Olympiad, the most significant mathematics competition for school age students, in 1981.

Международные математические олимпиады --- это, оказывается, поп-культура

[shust]

luitzen писал(а):

Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

Можно!

[PAV]

К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства

[Brukvalub]

PAV писал(а):

К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства

Посмотрел на ссылку - автором является Виктор Шустов. Удивило совершенно случайное совпадение фамилии автора и ника shust.

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

luitzen писал(а):

Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

Можно!

Тогда что такое, например, $A(-2,x,y)$?

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Brukvalub писал(а):

PAV писал(а):

К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства

Посмотрел на ссылку - автором является Виктор Шустов. Удивило совершенно случайное совпадение фамилии автора и ника shust.

Ага, а ещё описание книги по этой ссылке и четвёртый пункт в этом опросе

[shust]

Brukvalub писал(а):

PAV писал(а):

К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства

Посмотрел на ссылку - автором является Виктор Шустов. Удивило совершенно случайное совпадение фамилии автора и ника shust.

1. Раскусили, раскусили! Плохо маскировался!

нг:

2. Разве это важно для существа дела?
3. "Святая церковь об этом скромно умалчивает"
4. Кто-то из классиков говорил нечто вроде следующего:
"Всякое сходство персонажей и обстоятельств действия с реальными
людьми и событиями может быть только случайным"
....

Вернемся к теме разговора.

luitzen писал(а):

Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

Разберемся сначала с функцией Аккермана. Имеется несколько определений
этой функции, выражающие одну и ту же идею. Как говорят в математике, по крайней мере два.
Один класс функций рассматривал сам Аккерман, назовем его FA1. Обэтом можно посмотреть по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function#Inverse и ссылке
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0
Другое, расширенное определение привел Профессор Снейп, пусть это будет FA2.
Наконец, введем третье определение FA3, отличающееся от второго только тем, что начало последовательности функций, определеных рекурсивным образом, начинается с единицы, а не с нуля:

$A(1,x,y) = x+y$
$A(2,x,y) = x \cdot y$
$A(3,x,y) = x^y$
$A(4,x,y) = x^{x^{{\ldots}^x$ (возведение в степень производится $y$ раз)

Формально определение $A$ даётся следующей схемой:

$A(1,x,y) = x+y$
$A(z+1,x,0) = \mathrm{sgn}(z)$
$A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$

Продолжить функцию Аккермана на отрицательные значения параметра z можно различными способами, например
$A(-z,x,y) = A(z,x,y)$ или
$A(-z,x,y) = 1$
и т. д и т. п.

Но чтобы это продолжение было разумным, а это можно понимать в смысле согласования с другими известными действиями и типами чисел, небходимо чтобы продолжение удовлетворяло, например, свойству отрицательных чисел
$(y-x)+x=y$
На языке FA3 это это может быть записано так:
$A(1,A(-1,x,y),x) = y$

Разумным, соответственно, выглядит определение функции Аккермана при $z=-1$ следующим образам:
$A(-1,x,y) = y-x$

Соответственно, при $z=-2$ и при $z=-3$ функция Аккермана для согласования с
определениями обратных действий для умножения и возведения в степень:
$(y/x)*x =y$
$x^l^o^gx^y =y$ (пятый символ в строчке означает основание логарифма)
может быть определена как
$A(-2,x,y) = y/x$
$A(-3,x,y) = log_xy$

Ну, а что при $z=0$, что будет?
При $z=0$ вводится нулевая операция такая, что при любых значениях аргумента x
возвращеет значение аргумента y, т.е.
$A(0,x,y) = y$

Детально подобный подход описан в уже упомянутой работе - пишу правильное название - "Обшее числовое действие и некоторые его свойства" автора Шустова В.В.
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&page=Book&id=65614&lang=Ru&blang=ru&list=Found
Однако там используется представления арифметических операций не в виде функции Аккермана, а в виде так называемого общего действия и объясняется, на мой взгляд достаточно убедительно, почему.

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

$A(1,x,y) = x+y$
$A(z+1,x,0) = \mathrm{sgn}(z)$
$A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$

Здесь ошибка Должно быть $A(z+1,x,y) = \mathrm{sgn}(z-1)$.

Имелось в виду продолжение на отрицательные $z$, удовлетворяющее свойству $A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$.

[shust]

Профессор Снэйп писал(а):

Здесь ошибка Должно быть $A(z+1,x,y) = \mathrm{sgn}(z-1)$.

Да, согласен, описка есть.

luitzen писал(а):

Оказывается, что у $A(3, x, y)$ есть собственное имя. Она так и называется — четвертование .

В упомянутой книге Р.Л. Гудстейн Рекурсивный математический анализ. М., Наука,1970
действия выше возведения в степень называются тетрация, пентация и т.д., понятно почему.

[shust]

shust писал(а):

Однако там используется представления арифметических операций не в виде функции Аккермана, а в виде так называемого общего действия и объясняется, на мой взгляд достаточно убедительно, почему.

Некоторое введение в общее действие, записываемое в виде
$a[n]^kh$
можно посмотреть по ссылке http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=95513#95513 .
Связь функции Аккермана на языке FA3 http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=93907#93907 и общего числового действия дается соотношением
$A(z,x,y)=y[z]x$
Функция Аккермана этого варианта может рассматриваться как частный вид общего действия
при значении итерационного параметра $k=1$, которое в этом случае по умолчанию не пишется.

[Архипов]

Сколько числовых действий в этом мире извесно ?
На примере списка операций ЭВМ
Была одна, потом - 2, затем - 8, 48, 64, 256, сейчас - более 1000.

[luitzen]

А вот интересно, можно ли отыскать довольно однообразные «гипергеометрические» представления для $m+1$, $m+n$, $m\cdot n$, $m^n$ и попытаться «угадать продолжение»?

Вот что нашел у Кнута, Грэхема и Паташника на стр. 243:

$$\frac{m}{n} = F(n+1,\, m-n,\, 1,\, \frac{1}{2};\; \frac{1}{2}m+1,\, \frac{1}{2}m+\frac{1}{2},\, 2;\; 1)$$

[sergmirdin]

Вообще то я склонен к простой теории...действий всего то 3 -сложить, вычесть, разделить. Все остальные - лишь в свое время практически доказанное сокращение однообразных, много раз повторяющихся вышеупомянутых действий.

[Brukvalub]

sergmirdin писал(а):

Вообще то я склонен к простой теории...действий всего то 3 -сложить, вычесть, разделить.

Гаишники вообще признают только два действия: отнимать и делить, и прекрасно при этом себя чувствуют...

[sergmirdin]

Вы все же умолчали -"сложить" - т.е. прибавить к своей зарплате....
Так может Вы из них...?

[shust]

Введение обобщенной функции Аккермана или общего числового действия $a[n]^kh$ - это разные способы представления арифметических операций в числовой форме в соответствии с таблицей, приведенной ниже:
......................... $log_ha$ .... $a/h$ .. $a-h$ .... нет .. $a+h$ $a*h$ .. $h^a$
... $a[-n]h$ ... $a[-3]h$ $a[-2]h$ $a[-1]h$ $a[0]h$ $a[1]h$ $a[2]h$ $a[3]h$ ... $a[n]h$ ...

При этом подходе символам арифметических операций ставятся в соответствие для прямых операций - сложение, умножение, возведение в степень - натуральные числа, для обратных операций - вычитание, деление, логарифмирование - соответствующие им противоположные, т.е. отрицательные числа:
... log .. / .. - .. нет .. + .. * ... ^
...-3 .. -2 .. -1 .. 0 .... 1 .. 2 .. 3 ...
Нулевое действие, соответствующее значению операционного параметра $n = 0$ и возвращающее в качестве результата значение начального параметра $a$ при любом значении параметра $h$, не имеет аналога среди традиционных арифметических действий.

Вопрос такой, что дает или может дать переход от представления числовых действий в традиционной классической символьной форме к числовой форме их представления? Этот вопрос частично рассматривался в выступлении
по адресу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=108009#108009

И второй вопрос. В подходе общего действия устанавливается истинность при $n = 1, 2$ и, по крайней мере, для неотрицательных $a$, $b$, $c$, например, такой формулы:
$(a+b)[n+1]c = (a[n+1]c)[n](b[n+1]c)$
Как можно интерпретировать эту формулу в привычных обозначениях?

И, наконец, третий вопрос. Если арифметические действия рассматривать в числовой форме, то естественно и логично возникает вопрос о возможности рассмотрения этих действий при нецелых значениях операционного параметра $n$. Можно ли определить действия, промежуточные между сложением и умножением, умножением и возведением в степень и т.д.? Например, чему равно выражение $2[1.5]3$ ?
В общей постановке этот вопрос можно сформулировать следующим образом: до какого множества можно расширить область допустимых значений операционного параметра $n$ в общем действии $a[n]^kh$ или в обобщенной функции
Аккермана $A(n,h,a)$ ?
Третий вопрос имеет прямое отношение к обсуждаемой теме.