2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Сколько существует числовых действий?
4 5%  5%  [ 1 ]
7 10%  10%  [ 2 ]
9 0%  0%  [ 0 ]
Столько, сколько имеется целых чисел 29%  29%  [ 6 ]
Другое 57%  57%  [ 12 ]
Всего голосов : 21
 
 
Сообщение29.12.2007, 08:25 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
luitzen писал(а):
Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?


$A(-1,x,y) = x+1$.

Дальше, похоже, никак :?

Добавлено спустя 20 минут 8 секунд:

luitzen писал(а):
Оказывается, что у $A(3, x, y)$ есть собственное имя. Она так и называется — четвертование :)


По ссылке, которую приводит luitzen, можно найти ссылку и на саму функцию Аккермана. Вот она: http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function

Больше всего меня там улыбнуло следующее:

Цитата:
In popular culture

A question involving this function was posed at the International Mathematical Olympiad, the most significant mathematics competition for school age students, in 1981.


Международные математические олимпиады --- это, оказывается, поп-культура :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2007, 11:02 


22/11/06
186
Москва
luitzen писал(а):
Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

Можно!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2007, 10:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2007, 11:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13622
Москва
PAV писал(а):
К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства
Посмотрел на ссылку - автором является Виктор Шустов. Удивило совершенно случайное совпадение фамилии автора и ника shust. :shock: :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2007, 14:04 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
shust писал(а):
luitzen писал(а):
Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

Можно!


Тогда что такое, например, $A(-2,x,y)$?

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

Brukvalub писал(а):
PAV писал(а):
К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства
Посмотрел на ссылку - автором является Виктор Шустов. Удивило совершенно случайное совпадение фамилии автора и ника shust. :shock: :D


Ага, а ещё описание книги по этой ссылке и четвёртый пункт в этом опросе :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.01.2008, 17:25 


22/11/06
186
Москва
Brukvalub писал(а):
PAV писал(а):
К теме: наткнулся тут на новую книгу Общее числовое действие и его свойства
Посмотрел на ссылку - автором является Виктор Шустов. Удивило совершенно случайное совпадение фамилии автора и ника shust. :shock: :D


1. Раскусили, раскусили! Плохо маскировался! :D
 !  нг:

2. Разве это важно для существа дела?
3. "Святая церковь об этом скромно умалчивает"
4. Кто-то из классиков говорил нечто вроде следующего:
"Всякое сходство персонажей и обстоятельств действия с реальными
людьми и событиями может быть только случайным"
....

Вернемся к теме разговора.
luitzen писал(а):
Интересно, а можно ли как-нибудь продолжить $A(z,x,y)$ на отрицательные $z$ ?

Разберемся сначала с функцией Аккермана. Имеется несколько определений
этой функции, выражающие одну и ту же идею. Как говорят в математике, по крайней мере два.
Один класс функций рассматривал сам Аккерман, назовем его FA1. Обэтом можно посмотреть по ссылке http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function#Inverse и ссылке
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D0%BA%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0
Другое, расширенное определение привел Профессор Снейп, пусть это будет FA2.
Наконец, введем третье определение FA3, отличающееся от второго только тем, что начало последовательности функций, определеных рекурсивным образом, начинается с единицы, а не с нуля:

$A(1,x,y) = x+y$
$A(2,x,y) = x \cdot y$
$A(3,x,y) = x^y$
$A(4,x,y) = x^{x^{{\ldots}^x$ (возведение в степень производится $y$ раз)

Формально определение $A$ даётся следующей схемой:

$A(1,x,y) = x+y$
$A(z+1,x,0) = \mathrm{sgn}(z)$
$A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$

Продолжить функцию Аккермана на отрицательные значения параметра z можно различными способами, например
$A(-z,x,y) = A(z,x,y)$ или
$A(-z,x,y) = 1$
и т. д и т. п.

Но чтобы это продолжение было разумным, а это можно понимать в смысле согласования с другими известными действиями и типами чисел, небходимо чтобы продолжение удовлетворяло, например, свойству отрицательных чисел
$(y-x)+x=y$
На языке FA3 это это может быть записано так:
$A(1,A(-1,x,y),x) = y$

Разумным, соответственно, выглядит определение функции Аккермана при $z=-1$ следующим образам:
$A(-1,x,y) = y-x$

Соответственно, при $z=-2$ и при $z=-3$ функция Аккермана для согласования с
определениями обратных действий для умножения и возведения в степень:
$(y/x)*x =y$
$x^l^o^gx^y =y$ (пятый символ в строчке означает основание логарифма)
может быть определена как
$A(-2,x,y) = y/x$
$A(-3,x,y) = log_xy$

Ну, а что при $z=0$, что будет?
При $z=0$ вводится нулевая операция такая, что при любых значениях аргумента x
возвращеет значение аргумента y, т.е.
$A(0,x,y) = y$

Детально подобный подход описан в уже упомянутой работе - пишу правильное название - "Обшее числовое действие и некоторые его свойства" автора Шустова В.В.
http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&page=Book&id=65614&lang=Ru&blang=ru&list=Found
Однако там используется представления арифметических операций не в виде функции Аккермана, а в виде так называемого общего действия и объясняется, на мой взгляд достаточно убедительно, почему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.01.2008, 19:38 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
shust писал(а):
$A(1,x,y) = x+y$
$A(z+1,x,0) = \mathrm{sgn}(z)$
$A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$


Здесь ошибка Должно быть $A(z+1,x,y) = \mathrm{sgn}(z-1)$.

Имелось в виду продолжение на отрицательные $z$, удовлетворяющее свойству $A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.01.2008, 21:50 


22/11/06
186
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Здесь ошибка Должно быть $A(z+1,x,y) = \mathrm{sgn}(z-1)$.

Да, согласен, описка есть.

luitzen писал(а):
Оказывается, что у $A(3, x, y)$ есть собственное имя. Она так и называется — четвертование :) .

В упомянутой книге Р.Л. Гудстейн Рекурсивный математический анализ. М., Наука,1970
действия выше возведения в степень называются тетрация, пентация и т.д., понятно почему.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2008, 22:37 


22/11/06
186
Москва
shust писал(а):
Однако там используется представления арифметических операций не в виде функции Аккермана, а в виде так называемого общего действия и объясняется, на мой взгляд достаточно убедительно, почему.

Некоторое введение в общее действие, записываемое в виде
$a[n]^kh$
можно посмотреть по ссылке http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=95513#95513 .
Связь функции Аккермана на языке FA3 http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=93907#93907 и общего числового действия дается соотношением
$A(z,x,y)=y[z]x$
Функция Аккермана этого варианта может рассматриваться как частный вид общего действия
при значении итерационного параметра $k=1$, которое в этом случае по умолчанию не пишется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2008, 16:12 
Заблокирован


16/03/06

932
Сколько числовых действий в этом мире извесно ?
На примере списка операций ЭВМ
Была одна, потом - 2, затем - 8, 48, 64, 256, сейчас - более 1000.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.02.2008, 00:47 
Заслуженный участник


18/03/07
1068
А вот интересно, можно ли отыскать довольно однообразные «гипергеометрические» представления для $m+1$, $m+n$, $m\cdot n$, $m^n$ и попытаться «угадать продолжение»?

Вот что нашел у Кнута, Грэхема и Паташника на стр. 243:
$$\frac{m}{n} = F(n+1,\, m-n,\, 1,\, \frac{1}{2};\; \frac{1}{2}m+1,\, \frac{1}{2}m+\frac{1}{2},\, 2;\; 1)$$ :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2008, 21:34 


30/12/07
94
Вообще то я склонен к простой теории...действий всего то 3 -сложить, вычесть, разделить. Все остальные - лишь в свое время практически доказанное сокращение однообразных, много раз повторяющихся вышеупомянутых действий.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2008, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13622
Москва
sergmirdin писал(а):
Вообще то я склонен к простой теории...действий всего то 3 -сложить, вычесть, разделить.
Гаишники вообще признают только два действия: отнимать и делить, и прекрасно при этом себя чувствуют...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2008, 17:45 


30/12/07
94
Вы все же умолчали -"сложить" - т.е. прибавить к своей зарплате....
Так может Вы из них...?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.04.2008, 22:29 


22/11/06
186
Москва
Введение обобщенной функции Аккермана или общего числового действия $a[n]^kh$ - это разные способы представления арифметических операций в числовой форме в соответствии с таблицей, приведенной ниже:
......................... $log_ha$ .... $a/h$ .. $a-h$ .... нет .. $a+h$ $a*h$ .. $h^a$
... $a[-n]h$ ... $a[-3]h$ $a[-2]h$ $a[-1]h$ $a[0]h$ $a[1]h$ $a[2]h$ $a[3]h$ ... $a[n]h$ ...

При этом подходе символам арифметических операций ставятся в соответствие для прямых операций - сложение, умножение, возведение в степень - натуральные числа, для обратных операций - вычитание, деление, логарифмирование - соответствующие им противоположные, т.е. отрицательные числа:
... log .. / .. - .. нет .. + .. * ... ^
...-3 .. -2 .. -1 .. 0 .... 1 .. 2 .. 3 ...
Нулевое действие, соответствующее значению операционного параметра $n = 0$ и возвращающее в качестве результата значение начального параметра $a$ при любом значении параметра $h$, не имеет аналога среди традиционных арифметических действий.

Вопрос такой, что дает или может дать переход от представления числовых действий в традиционной классической символьной форме к числовой форме их представления? Этот вопрос частично рассматривался в выступлении
по адресу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=108009#108009

И второй вопрос. В подходе общего действия устанавливается истинность при $n = 1, 2$ и, по крайней мере, для неотрицательных $a$, $b$, $c$, например, такой формулы:
$(a+b)[n+1]c = (a[n+1]c)[n](b[n+1]c)$
Как можно интерпретировать эту формулу в привычных обозначениях?

И, наконец, третий вопрос. Если арифметические действия рассматривать в числовой форме, то естественно и логично возникает вопрос о возможности рассмотрения этих действий при нецелых значениях операционного параметра $n$. Можно ли определить действия, промежуточные между сложением и умножением, умножением и возведением в степень и т.д.? Например, чему равно выражение $2[1.5]3$ ?
В общей постановке этот вопрос можно сформулировать следующим образом: до какого множества можно расширить область допустимых значений операционного параметра $n$ в общем действии $a[n]^kh$ или в обобщенной функции
Аккермана $A(n,h,a)$ ?
Третий вопрос имеет прямое отношение к обсуждаемой теме.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 50 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group