Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока

[Munin]

Как-то долго не осознавал этого факта, но заинтересовался.

Электромагнитное поле - это 2-форма в 4-мерном пространстве-времени $F.$

(Для тех, кто имеет базис типа ЛЛ-2: антисимметрический 2-жды ковариантный тензор 2 ранга $F_{\mu\nu}.$
Для тех, кто не знаком со СТО и 4-векторами... здесь речь о двух векторах $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B},$ но эта тема не для вас.)

На эту форму можно взглянуть как на решение уравнений Максвелла $dF=0,\quad d\mathop{*}F=J.$     ($\varepsilon^{\lambda\mu\nu\rho}\partial_\lambda F_{\mu\nu}=0\quad\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu.$)

Но можно взглянуть на неё и по-фейнмановски. Уравнения Максвелла очень просто выглядят и решаются в фурье-образах (в импульсном пространстве, плюс примем лоренцевскую калибровку): $k^2A_\mu=-j_\mu,\quad A=-\dfrac{1}{k^2}j_\mu.$ Оператор $-\dfrac{1}{k^2}$ в пространстве оригиналов (в координатном) есть функция Грина даламбертиана *), она скалярная. Каждый элемент 4-тока $j_\mu$ создаёт сонаправленные ему 4-векторы $A_\mu$ в окружающем пространстве-времени. А элемент 4-тока - это, например, малый отрезок мировой линии заряженной частицы. Интегрированием по всем элементам всех токов, получаем суммарный потенциал во всём 4-пространстве. Поле из потенциала получается как $F_{\mu\nu}=i(k_\mu A_\nu-k_\nu A_\mu).$ Таким образом, его можно представить себе как бивектор. Или би-ковектор.

*)


(Оффтоп)

$\mathcal{G}(x_\mu)=\dfrac{1}{2\pi}\delta(x^2)\equiv\dfrac{1}{2\pi r}\bigl(\tfrac{1}{2}\delta(t-r)+\tfrac{1}{2}\delta(t+r)\bigr),$ впрочем, можно выбрать и другое соотношение опережающей и запаздывающей частей - это ни на что не влияет, лишь бы их сумма была $1.$

Как расположен этот $F_{\mu\nu}$ в 4-пространстве, окружающем элемент 4-тока $j_\mu$? Можно догадаться (или вывести из функции Грина), что это бивектор, одна из компонент которого направлена по направлению 4-вектора $A_\mu,$ вдоль тока $j_\mu,$ а вот другая - по радиус-вектору из точки тока в точку наблюдения, в которой мы вычисляем поле. Или, если представить себе прямую линию, по которой идёт 4-ток, то по радиусу от этой 4-линии (4-ортогональному ей). Это одно и то же, поскольку для бивектора важна только ориентация площадки, а не конкретные направления векторов. И, можно заметить, что это правило аналогично закону Био-Савара для элемента тока в трёхмерном пространстве - если заменить в Био-Саваре вектор магнитного поля на бивектор магнитного поля.

На данный момент, мы можем вычислить поле для любого тока. Но вот вопрос в обратную сторону: если мы знаем поле в заданной точке, то каким током оно может быть создано?

И вот тут оказывается, что 2-форма - это нечто большее, чем просто би-ковектор. Она может быть разложена по базису би-ковекторов, но сама по себе не обязана в таком виде выражаться. В 4-мерном пространстве, можно найти два таких взаимно-ортогональных би-ковектора, что $F=F_1+F_2.$ Вообще, в $n$-мерном пространстве - $\lfloor n/2\rfloor$ таких би-ковекторов, отчего наша интуиция и хромает, опираясь на 2-мерные и 3-мерные образы.

Для убедительности, напомню из ЛЛ-2 § 25 Инварианты поля:

Цитата:

Из векторов напряженностей электрического и магнитного полей можно составить инвариантные величины $H^2-E^2=\mathrm{inv},\quad\mathbf{EH}=\mathrm{inv}.$
Преобразованием Лоренца можно всегда достичь того, чтобы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ получили любые значения, удовлетворяющие только условию, чтобы $E^2-H^2$ и $\mathbf{EH}$ имели заданные определенные значения. В частности, можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой электрическое и магнитное поля в данной точке параллельны друг другу. В этой системе $\mathbf{EH}=EH.$
Исключением является случай, когда оба инварианта равны нулю. В этом случае $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ во всех системах отсчета равны по величине и взаимно перпендикулярны по направлению.
Если лишь $\mathbf{EH}=0,$ то можно найти такую систему отсчета, в которой $\mathbf{E}=0$ или $\mathbf{H}=0$ (смотря по тому $E^2-H^2<{}$ или ${}>0$), т.е. поле чисто магнитное или чисто электрическое.

В переводе на язык 2-формы:
- любая 2-форма раскладывается на два би-ковектора (кстати, единственным образом - это факт, аналогичный представлению ортогональной матрицы как композиции вращений); эти би-ковекторы взаимно-ортогональны друг другу (например, если один из них пространственно-подобный, то другой - времени-подобный);
- поворачивая 2-форму разными способами, можно получить различные проекции на $0i$- ("электрические") и $ij$- ("магнитные") базисные ковекторы;
- однако соотношения между слагаемыми $F_1$ и $F_2$ накладывают ограничения на соответствующие проекции: если больше пространственно-подобный би-ковектор, то "магнитная" проекция всегда будет больше электрической; и наоборот;
- первый частный случай отвечает двум свето-подобным би-ковекторам, или в таком случае можно обойтись одним;
- второй частный случай отвечает равенству одного из слагаемых нулю, при условии пространственно- или времени-подобности другого.

Итак, если мы знаем поле в заданной точке, то каким током оно может быть создано?

Мой ответ сейчас такой: потребуется два тока.
1. Нужно разложить 2-форму поля на два би-ковектора.
2. Для каждого би-ковектора найти какие-то 4-токи в окружающем пространстве, так что направление 4-тока и направление радиус-вектора для точки поля дают нужную ориентацию би-вектора.

Собственно, хоть я и пишу в "Помогите решить / разобраться", по сути, я с этим уже разобрался, и делюсь результатами с окружающими. Но можно задать дальнейшие вопросы:
1. (математический) А на сколько три-ковекторов в общем случае раскладывается 3-форма? (Если считать, что размерность пространства $n\gg 3.$) И вообще, на сколько $p$-ковекторов - $p$-форма?
2. (физический) А как в теории гравитации (возьмём линеаризованную ОТО)? Сколько там источников нужно, чтобы создать в данной точке желаемое поле?

[Kirill_Sal]

Разрешите вопрос: могли бы Вы написать разложение 2-формы на 2 кобивектора $F=F_{1}+F_{2}$ в явном виде? Например, для случая 2-формы того же поля $F_{\mu\nu}$.
И еще вопрос: (если я все-таки правильно понимаю, что такое поливектор) почему Вы говорите, что разложение 2-формы на 2 кобивектора единственно? (по-моему, это просто разложение по базису алгебры; базис этой алгебры не единственен);

-- 07.06.2015, 02:24 --

Размерность базиса форм степени $k$, кстати, равна числу сочетаний из $n$ по $k$, где $n$ - размерность пространства. То есть, для 3-формы в 4-х мерном пространстве, число базисных котривекторов равно $4$.
Если я не о том говорю, то извиняюсь и ухожу.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1024265 писал(а):

Разрешите вопрос: могли бы Вы написать разложение 2-формы на 2 кобивектора $F=F_{1}+F_{2}$ в явном виде? Например, для случая 2-формы того же поля $F_{\mu\nu}$.

Для этого надо найти собственные векторы и собственные значения матрицы $F^\mu{}_\nu.$ Деталей для псевдоевклидовой метрики не помню, а для евклидовой - там будут два двумерных собственных подпространства, и их собственные значения будут чисто мнимыми.

Kirill_Sal в сообщении #1024265 писал(а):

И еще вопрос: (если я все-таки правильно понимаю, что такое поливектор) почему Вы говорите, что разложение 2-формы на 2 кобивектора единственно?

Возможно, я неправильно использовал понятие бивектора (если считать, что кобивектор - это и есть 2-форма, то мои высказывания бессмысленны и неверны). Я подразумевал геометрический объект, который можно составить из двух явно заданных векторов (или, соответственно, ковекторов).

Тогда разложение единственно, как единственен набор собственных подпространств и значений у соответствующего оператора.

Kirill_Sal в сообщении #1024265 писал(а):

Размерность базиса форм степени $k$, кстати, равна числу сочетаний из $n$ по $k$, где $n$ - размерность пространства. То есть, для 3-формы в 4-х мерном пространстве, число базисных котривекторов равно $4$.

Ну это-то понятно. Вопрос, скорее, не в размерности базиса, а в количестве инвариантов. У 2-формы в 4-пространстве их как раз 2.

[Kirill_Sal]

Munin
Если у нас есть два вектора $\vec{e_{1}}$ и $\vec{e_{2}}$, то геометрический объект, составленный из них, может быть только один - это $\vec{e_{1}}\wedge\vec{e_{2}}$, - его и называют бивектором, насколько я знаю. Аналогично определяются ко-объекты.
И 2-форма электромагнитного поля в общем виде раскладывается на $6$ таких геометрических объектов. Так что Вы все-таки имели ввиду?
А кол-во инвариантов - это ведь совсем другой вопрос, насколько я понимаю...

[arseniiv]

Munin в сообщении #1024275 писал(а):

Я подразумевал геометрический объект, который можно составить из двух явно заданных векторов (или, соответственно, ковекторов).

По-русски, вроде, тут с терминологией плохо. По-английски это звалось, если помню, blade — ровно внешнее произведение какого-то числа векторов (в том числе нулевое). А так поливектор в общем случае не факторизуем по $\wedge$.

(А в алгебрах Клиффорда аналогичную штуку — произведение Клиффорда скольки-то векторов — зовут versor.)

Kirill_Sal в сообщении #1024278 писал(а):

это и называют бивектором, насколько я знаю

Хм, странное разночтение. А как там называют не факторизуемую сумму бивекторов типа $\mathbf e_1\wedge\mathbf e_2+\mathbf e_3\wedge\mathbf e_4$?

[Kirill_Sal]

Хотел было написать, что понял, о чем речь, но... нет, не понял.
По отдельности базис косых произведений (бивектора?) и инвариантные подпространства мне понятны, а как они связаны - нет.
Разве что тот факт, что преобразованиями координат можно привести F (в случае ортогональных полей E и H) к виду:

$F=F_{12}dx^{1}\wedge dx^{2}$

Число задействованных в данной формуле векторов равно 2-м, - числу инвариантных подпространств. Но с единственностью такого разложения по-прежнему непонятно.

-- 07.06.2015, 03:52 --

И последний вопрос: корректно ли сформулирован вопрос по гравитации? Какие есть способы "измерить" метрику? Вот кривизна - другое дело, но для тензора кривизны уже известны типы Петрова.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1024278 писал(а):

Если у нас есть два вектора $\vec{e_{1}}$ и $\vec{e_{2}}$, то геометрический объект, составленный из них, может быть только один - это $\vec{e_{1}}\wedge\vec{e_{2}}$, - его и называют бивектором, насколько я знаю. Аналогично определяются ко-объекты.
И 2-форма электромагнитного поля в общем виде раскладывается на $6$ таких геометрических объектов.

Вы всё немножко перепутали. $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ принято обозначать базисные векторы системы координат. Разумеется, при смене с. к. они меняются. Разумеется, 2-форма раскладывается на 6 таких произведений.

Но, если мы хотим разложить 2-форму на какие-то произведения вида $\vec{u}\wedge\vec{v}$ - где $\vec{u}$ и $\vec{v}$ уже не базисные, а произвольные какие-то векторы! - то мы не можем в общем случае подобрать два таких вектора, чтобы было $F=\vec{u}\wedge\vec{v}.$ Мы можем подобрать самое меньшее две таких пары: $F=\vec{u}_1\wedge\vec{v}_1+\vec{u}_2\wedge\vec{v}_2.$ И вот эти две пары - уже будут однозначно фиксированы (точнее, образованные ими бивекторы будут фиксированы, ну и с точностью до порядка).

Например. Запишем по координатному базису:
$F=f_{01}\vec{e}_0\wedge\vec{e}_1+f_{02}\vec{e}_0\wedge\vec{e}_2+f_{03}\vec{e}_0\wedge\vec{e}_3+f_{12}\vec{e}_1\wedge\vec{e}_2+f_{13}\vec{e}_1\wedge\vec{e}_3+f_{23}\vec{e}_2\wedge\vec{e}_3$
и попытаемся сгруппировать члены:
$\ldots=\vec{e}_0\wedge(f_{01}\vec{e}_1+f_{02}\vec{e}_2+f_{03}\vec{e}_3)+\vec{e}_1\wedge(f_{12}\vec{e}_2+f_{13}\vec{e}_3)+f_{23}\vec{e}_2\wedge\vec{e}_3$
И вот на этом месте вы остановитесь, и не сможете сделать меньше трёх внешних произведений, если не вспомните, что в 3-мерном пространстве бивекторы двойственны векторам, а векторы всегда можно сложить, и значит, последние два произведения всегда можно записать как одно:
$\vec{e}_1\wedge(f_{12}\vec{e}_2+f_{13}\vec{e}_3)+f_{23}\vec{e}_2\wedge\vec{e}_3=f_{123}\vec{n}_1\wedge\vec{n}_2$
для некоторых пространственно-подобных $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2.$ И вот тут, поздравляю, вы достигли разложения $F$ на электрическое и магнитное поле.

-- 07.06.2015 13:22:47 --

Kirill_Sal в сообщении #1024280 писал(а):

Разве что тот факт, что преобразованиями координат можно привести F (в случае ортогональных полей E и H) к виду:

$F=F_{12}dx^{1}\wedge dx^{2}$

А теперь подумайте над случаем неортогональных полей. А это пока - "второй частный случай" по Ландау. Одно инвариантное пространство натянуто на $dx^1$ и $dx^2,$ а второе - на две оставшиеся оси, ортогональные этим.

-- 07.06.2015 13:30:35 --

Kirill_Sal в сообщении #1024280 писал(а):

И последний вопрос: корректно ли сформулирован вопрос по гравитации?

Ну конечно, некорректно. Надо указать, какую величину рассматриваем. Хотя бы, связность или кривизну.

Kirill_Sal в сообщении #1024280 писал(а):

Вот кривизна - другое дело, но для тензора кривизны уже известны типы Петрова.

Вот с ними я ещё не разбирался. А вы?

[Kirill_Sal]

Munin
Физически ясно, что в случае неортогональных полей мы в любом базисе обязаны сохранить как электрическое, так и магнитное поле. То есть, из 6 членов разложения обязательно останется не менее 2-х. Предполагаю, что можно доказать и обратное: всегда можно выбрать такой базис, чтобы $F$ раскладывалась на 2 бивектора, принадлежащих этому базису?

Теперь о гравитации:

Связность мы тоже не измерим. Ее можно обратить в нуль всюду вдоль геодезической кривой наблюдателя. Поэтому единственная физическая величина, которая поддается измерению, - это кривизна.

С типами Петрова я не очень разбирался, но вкратце знакомился. В самом общем виде это довольно скучная алгебраическая задача, но идея не очень сложная. Тензор кривизны по общему правилу раскладывается на тензор Вейля, а также "электрическую" и "магнитную" составляющие (S.Hawking "Perturbations of the expanding Universe"). Затем исследуются инварианты, которые можно получить из этих тензоров. (Грубо говоря, просто проводится анализ их собственных чисел).

Но я думаю, что можно попробовать более простой способ ответить на 2-й вопрос. Классификация тензора энергии-импульса намного проще, нежели тензора кривизны. Тогда, если мы знаем способ измерить тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu}$, несущем информацию о поле (?), то сможем и восстановить по нему информацию об источнике. Например, в случае $R=0$ измерение $G_{\mu\nu}$ возможно. А как быть с общим случаем?

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1024365 писал(а):

Предполагаю, что можно доказать и обратное: всегда можно выбрать такой базис, чтобы $F$ раскладывалась на 2 бивектора, принадлежащих этому базису?

Для этого достаточно:
-

Цитата:

найти такую инерциальную систему отсчета, в которой электрическое и магнитное поля в данной точке параллельны друг другу.

- в этой с. о. положить базисные векторы по оси времени, по оси электрического и магнитного поля, и по двум оставшимся перпендикулярным осям.

Kirill_Sal в сообщении #1024365 писал(а):

Связность мы тоже не измерим.

Ну, не факт, можно же рассматривать её отдельно как поле... Ладно, это для меня трудно. Не знаю.

Kirill_Sal в сообщении #1024365 писал(а):

Тензор кривизны раскладывается на тензор Вейля, а также "электрическую" и "магнитную" составляющие.

Где это написано?

Kirill_Sal в сообщении #1024365 писал(а):

Классификация тензора энергии-импульса намного проще, нежели тензора кривизны. Тогда, если мы знаем способ измерить тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu}$, несущем информацию о поле (?), то сможем и восстановить по нему информацию об источнике. Например, в случае $R=0$ измерение $G_{\mu\nu}$ возможно. А как быть с общим случаем?

Боюсь, вы схватились не за тот конец вопроса. Тензор энергии-импульса - это будет как раз ток (источник), создающий поле. Он, конечно, нам прост и понятен: это симметрический тензор 2 ранга, который можно представить как сумму ортогональных проекторов. Мы даже не будем рассматривать ТЭИ общего вида, мы возьмём один проектор - это вполне соответствует одной массивной точечной частице (в линеаризованной теории), ср. Фейнман(гравитация) лекция 3.

А вот вопрос состоит в том, сколько таких токов (не находящихся в точке измерения поля!), нужно, чтобы создать произвольное поле в рассматриваемой точке.

То есть, не смотрите на уравнение Эйнштейна, которое приравнивает $G_{\mu\nu}$ и $T_{\mu\nu},$ а смотрите на его решение (в линеаризованной теории) $h_{\mu\nu}=\dfrac{1}{k^2}\overline{T}_{\mu\nu}\equiv\dfrac{1}{k^2}\bigl(T_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}T^\rho{}_\rho\bigr)$ (ФЛГ в конце § 3.3). Здесь опять функция Грина переносит величины из точки источника в точку наблюдения поля, и она опять скалярная, то есть от неё можно отмахнуться, а поле (здесь - потенциалы $h_{\mu\nu}$) в точке наблюдения, как тензор, подобно тензору источника. Здесь - исправленному на $\ldots-\tfrac{1}{2}\operatorname{tr}.$ (Вот кстати, что это за исправление, как его геометрически понять? Не знаю, надо ещё копаться.)

[Kirill_Sal]

Munin в сообщении #1024386 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1024365 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1024365 писал(а):

Тензор кривизны раскладывается на тензор Вейля, а также "электрическую" и "магнитную" составляющие.

Где это написано?

Я с этим разложением впервые столкнулся в статье Hawking "Perturbations of the expanding Universe", лучше вроде нигде не написано.

А про само получение типов Петрова я уже не помню, где читал. Мне были больше интересны результаты, нежели способ их получения.

Вопрос теперь понял, ничего интересного пока не могу сказать. То есть, наблюдатель находится далеко от всех источников и хочет получить о них некоторую информацию, зная создаваемую ими кривизну пространства в своей точке наблюдения. Уравнения Эйнштейна, конечно, тут не в тему, потому что в точке наблюдения нет материи.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1024392 писал(а):

То есть, наблюдатель находится далеко от всех источников и хочет получить о них некоторую информацию

Ну на самом деле, информацию тут получить нельзя. Один и тот же бивектор можно получить многими разными токами, на разных расстояниях, по-разному ориентированными.

Чтобы получить информацию - это надо уже измерять поле в окрестности точки, со всеми производными. И то, здесь есть какие-то ограничения (например, сквозь сплошную проводящую оболочку не проникнет никакой информации о токах).

Меня скорее интересовало "создать искусственно заданное поле в точке".

[arseniiv]

Ночью немного подумал. Оказывается, всё очень просто.

Munin в сообщении #1024252 писал(а):

1. (математический) А на сколько три-ковекторов в общем случае раскладывается 3-форма? (Если считать, что размерность пространства $n\gg 3.$) И вообще, на сколько $p$-ковекторов - $p$-форма?

Должно быть $\lfloor n/p\rfloor$ — сколько можно найти $p$-плоскостей, пересекающихся только в нуле, в $n$-мерном пространстве. И даже, выходит, если $n\not\gg3$.

[Kirill_Sal]

Munin
Под "некоторой информацией" я и имел ввиду кол-во источников, необходимых для создания определенной кривизны в точке наблюдения (мы вроде договорились, что метрические коэффициенты измерить не можем).

-- 07.06.2015, 15:37 --

arseniiv
Не понял. Если степень формы больше размерности пространства, то такая форма тождественно нулю равна.

[arseniiv]

Kirill_Sal в сообщении #1024408 писал(а):

Не понял. Если степень формы больше размерности пространства, то такая форма тождественно нулю равна.

Ну и $\lfloor n/p\rfloor$ будет тогда нулевым, что согласуется (а что, $p$-векторы (или формы) с $p>n$ (или $p<0$, хотя за отрицательные, наверно, можно считать уход в сопряжённое пространство) рассматривают?).

[Kirill_Sal]

Munin
Предлагаю начать с очень простого вопроса. Как отличить на больших расстояниях от 2-х источников $M_{1}$ и $M_{2}$ создаваемое ими поле от поля, создаваемого массой $M=M_{1}+M_{2}$? Под большими расстояниями давайте понимать $r>>2M_{1}$, $r>>2M_{2}$, $r>>r_{12}$, где $r_{12}$ - расстояние между $M_{1}$ и $M_{2}$.

arseniv
Если случай $p>n$ у Вас включен как тривиальный, то может и правильно. Вообще, все формы с $p>n$ тривиальны, поэтому их не рассматривают, конечно.