2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
SergeyGubanov в сообщении #1025238 писал(а):
Хорошо, но тогда моё первое сообщение остаётся в силе

А вы мой ответ на него читали?

До вас, похоже, так ещё и не дошло, что не каждая 2-форма (в точке!) в 4-пространстве есть бивектор.

Kirill_Sal в сообщении #1025242 писал(а):
а в какой точке Вы уравнения Максвелла с токами пишите?

Судя по тому, что он пользуется разложением Гельмгольца (точная форма есть дифференциал потенциала), - в области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 17:02 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #1025247 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #1025238 писал(а):
Хорошо, но тогда моё первое сообщение остаётся в силе
А вы мой ответ на него читали?
Я читал Ваше сообщение, но ответа в нём не увидел.

Munin в сообщении #1025247 писал(а):
До вас, похоже, так ещё и не дошло, что не каждая 2-форма (в точке!) в 4-пространстве есть бивектор.
Конечно не каждая. Я даже никогда и не предполагал обратного. Однако, при чём тут это?..

Итак, вот Ваша программа действий:
Munin в сообщении #1024252 писал(а):
Мой ответ сейчас такой: потребуется два тока.
1. Нужно разложить 2-форму поля на два би-ковектора.
2. Для каждого би-ковектора найти какие-то 4-токи в окружающем пространстве, так что направление 4-тока и направление радиус-вектора для точки поля дают нужную ориентацию би-вектора.
Допустим первый пункт Вашей программы выполнен и получено разложение:
$$
F = Q^{(0)} \wedge Q^{(1)} + Q^{(2)} \wedge Q^{(3)}, \qquad Q^{(a)} = Q^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}.
$$
Пожалуйста выполните для бивектора $Q^{(0)} \wedge Q^{(1)}$ и для бивектора $Q^{(2)} \wedge Q^{(3)}$ второй пункт Вашей программы, чтобы стало наконец понятно что же конкретно Вы имеете в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
SergeyGubanov в сообщении #1025296 писал(а):
Я читал Ваше сообщение, но ответа в нём не увидел.

Ну эти ваши проблемы уже не касаются конструктивного обсуждения. Перечитайте. До просветления. И не мешайтесь другим людям, пока просветление не наступит.

SergeyGubanov в сообщении #1025296 писал(а):
Конечно не каждая. Я даже никогда и не предполагал обратного. Однако, при чём тут это?..

При том, что именно этому тема и была посвящена!!!

SergeyGubanov в сообщении #1025296 писал(а):
Итак, вот Ваша программа действий:
Munin в сообщении #1024252 писал(а):
Мой ответ сейчас такой: потребуется два тока.
1. Нужно разложить 2-форму поля на два би-ковектора.
2. Для каждого би-ковектора найти какие-то 4-токи в окружающем пространстве, так что направление 4-тока и направление радиус-вектора для точки поля дают нужную ориентацию би-вектора.
Допустим первый пункт Вашей программы выполнен и получено разложение:
$$
F = Q^{(0)} \wedge Q^{(1)} + Q^{(2)} \wedge Q^{(3)}, \qquad Q^{(a)} = Q^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}.
$$
Пожалуйста выполните для бивектора $Q^{(0)} \wedge Q^{(1)}$ и для бивектора $Q^{(2)} \wedge Q^{(3)}$ второй пункт Вашей программы, чтобы стало наконец понятно что же конкретно Вы имеете в виду.

Чего я имел в виду:
$Q^{(0)}=x^{(1)}$ - 4-радиус-вектор от б.-малого элемента первого тока до точки наблюдения поля;
$\tfrac{1}{\mathcal{G}(x^{(1)})}Q^{(1)}=j^{(1)}$ - 4-вектор первого тока в б.-малом элементе;
$Q^{(2)}=x^{(2)}$ - 4-радиус-вектор от б.-малого элемента второго тока до точки наблюдения поля;
$\tfrac{1}{\mathcal{G}(x^{(2)})}Q^{(3)}=j^{(2)}$ - 4-вектор второго тока в б.-малом элементе.
Всё банально.

Один из двух токов получается пространственно-подобным. Впрочем, обычный ток в обычном проводе - тоже пространственноподобный.

Для физической реалистичности, сделаем один ток текущим по прямой мировой линии (неускоренная частица), тогда функцию Грина надо соответственно проинтегрировать по этой линии. Другой по линии пустить нельзя, иначе это будет тахион. Пустим его по времениподобному листу (так же, как обычный ток в обычном проводе), и тоже проинтегрируем функцию Грина.

На трёхмерном языке: в некоторой точке мы имеем поле $\mathbf{E}$ и поле $\mathbf{B}.$ Разместим вдоль линии $\mathbf{E}$ на некотором расстоянии неподвижный заряд, так что это будет кулоновское поле этого заряда. Разместим в плоскости, перпендикулярной к линии $\mathbf{B},$ на некотором расстоянии провод с постоянным током, так что это будет амперовское поле этого тока. Задача решена. (Разумеется, решение не единственно, и это позволило нам здесь подобрать токи, ориентированные вдоль базиса.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 19:13 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #1025326 писал(а):
Чего я имел в виду:
$Q^{(0)}=x^{(1)}$ - 4-радиус-вектор от б.-малого элемента первого тока до точки наблюдения поля;
$\tfrac{1}{\mathcal{G}(x^{(1)})}Q^{(1)}=j^{(1)}$ - 4-вектор первого тока в б.-малом элементе;
$Q^{(2)}=x^{(2)}$ - 4-радиус-вектор от б.-малого элемента второго тока до точки наблюдения поля;
$\tfrac{1}{\mathcal{G}(x^{(2)})}Q^{(3)}=j^{(2)}$ - 4-вектор второго тока в б.-малом элементе.
Всё банально.
Символы $Q^{(0)}$, $Q^{(1)}$, $Q^{(2)}$ и $Q^{(3)}$ обозначают дифференциальные формы:
$$
Q^{(0)} = Q^{(0)}_{0} dx^{0} + Q^{(0)}_{1} dx^{1} + Q^{(0)}_{2} dx^{2} + Q^{(0)}_{3} dx^{3}
$$$$
Q^{(1)} = Q^{(1)}_{0} dx^{0} + Q^{(1)}_{1} dx^{1} + Q^{(1)}_{2} dx^{2} + Q^{(1)}_{3} dx^{3}
$$$$
Q^{(2)} = Q^{(2)}_{0} dx^{0} + Q^{(2)}_{1} dx^{1} + Q^{(2)}_{2} dx^{2} + Q^{(2)}_{3} dx^{3}
$$$$
Q^{(3)} = Q^{(3)}_{0} dx^{0} + Q^{(3)}_{1} dx^{1} + Q^{(3)}_{2} dx^{2} + Q^{(3)}_{3} dx^{3}
$$
Ваша запись $Q^{(0)}=x^{(1)}$ - это какая-то бессмыслица. Что Вы имете в виду под этим обозначением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 19:23 
Заморожен


24/06/14
358
SergeyGubanov
Написано же, что $x^{(1)}$ - бесконечно-малый элемент

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
SergeyGubanov в сообщении #1025343 писал(а):
Ваша запись $Q^{(0)}=x^{(1)}$ - это какая-то бессмыслица. Что Вы имете в виду под этим обозначением?

В метрическом пространстве Минковского 1-формы естественно изоморфны векторам. На языке индексов: $x^{(1)}^\mu=g^{\mu\nu}Q^{(0)}_\nu.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 20:10 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
Ну и обозначения у Вас :D

Ваше решение эквивалентно следующему, через потенциал $A_{\mu}$.

Пусть $j_{\mu} = \operatorname{const}$, тогда
$$
A_{0} = - \frac{2\pi}{3} \left(  (x^1 - x^1_p)^2 + (x^2 - x^2_p)^2 + (x^3 - x^3_p)^2 \right) j_0
$$$$
A_{1} = \frac{2\pi}{3} \left(  (x^0 - x^0_p)^2 - (x^2 - x^2_p)^2 - (x^3 - x^3_p)^2 \right) j_1
$$$$
A_{2} = \frac{2\pi}{3} \left(  (x^0 - x^0_p)^2 - (x^1 - x^1_p)^2 - (x^3 - x^3_p)^2 \right) j_2
$$$$
A_{3} = \frac{2\pi}{3} \left(  (x^0 - x^0_p)^2 - (x^1 - x^1_p)^2 - (x^2 - x^2_p)^2 \right) j_3
$$
$$
F = d A, \qquad d F = 0, \qquad \star d \star F = 4 \pi j
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
SergeyGubanov в сообщении #1025371 писал(а):
Ну и обозначения у Вас :D

Взял их у вас. Мои были другие.

А сути вопроса вы всё ещё в упор не понимаете. Может, прекратите, наконец уже, загрязнять тему? Мне не хочется на десятках страниц рассусоливать вам то, с чего разговор только начался.

-- 09.06.2015 20:18:36 --

(Оффтоп)

P. S. Вы ещё немаловажную буковку перед скобочкой забыли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение10.06.2015, 18:03 
Аватара пользователя


14/11/12
1310
Россия, Нижний Новгород
Munin, а нету никакой сути вопроса. Эти Ваши "два тока" оказались пшиком, недоразумением.

Да, кстати, то решение, которое я вчера здесь выписал, можно упростить. Если $j_{\mu} = \operatorname{const}$, тогда $A_{\mu}(x) = \frac{2 \pi}{3} s^2 j_{\mu}$, где $s^2 = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение10.06.2015, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Может быть, теперь наконец-то вы покинете тему. Многие поняли её, в отличие от вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение18.06.2019, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Кажется, я попросту переоткрыл ранг внешней формы и ранг тензора. (Не тот ранг, который валентность.)
Неутешительно: там везде написано, что это очень сложная задача. И ничего даже про низкоразмерные случаи ($k>2$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group