Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока

[arseniiv]

Kirill_Sal в сообщении #1024420 писал(а):

Если случай $p>n$ у Вас включен как тривиальный, то может и правильно. Вообще, все формы с $p>n$ тривиальны, поэтому их не рассматривают, конечно.

Вообще, я его не включал — он сам включился.

Интересно, что скажет Munin на внезапное разрешение первого вопроса…

[Munin]

arseniiv в сообщении #1024405 писал(а):

Должно быть $\lfloor n/p\rfloor$ — сколько можно найти $p$-плоскостей, пересекающихся только в нуле, в $n$-мерном пространстве. И даже, выходит, если $n\not\gg3$.

Это логичная идея. Но вот раскладывается ли произвольная $p$-форма по таким плоскостям?

Возьмём, скажем, 6-мерное пространство и 3-форму.

Kirill_Sal в сообщении #1024420 писал(а):

Предлагаю начать с очень простого вопроса.

Вообще-то, честно говоря, 1-й вопрос меня сейчас интересует больше, чем 2-й. Но вот как его сформулировать, чтобы пойти задать вопрос на математический раздел, не знаю.

[amon]

Munin в сообщении #1024252 писал(а):

Итак, если мы знаем поле в заданной точке, то каким током оно может быть создано?

А я, честно говоря, постановки этой задачи не понял. Если перевести все с Высокого Наречия на язык рабочих и крестьян, то, IMHO, получится вот что.

"Прямая задача". Выберем точку и ИСО с началом координат в этой точке. Наше поле создано токами, координаты которых живут в абсолютном прошлом в такой системе координат. Если мы знаем все токи от сотворения мира, то мы это поле сосчитаем, но старческий склероз мне лично мешает это сделать. Поэтому я, и прочие склеротики, поля от тех токов, которые давно закончились, считают свободными полями, у которых нет источников. Помогает в этом t-локальность уравнений. Наличие свободных полей, IMHO, несколько портит красивую картину связи бивекторов и источников, особенно для потенциалов, поскольку можно добавить как свободное поле, так и просто "чистую калибровку". При этом условие

Munin в сообщении #1024252 писал(а):

это бивектор, одна из компонент которого направлена по направлению 4-вектора $A_\mu,$ вдоль тока $j_\mu,$ а вот другая - по радиус-вектору из точки тока в точку наблюдения

IMHO нарушается.

Обратная задача:" если мы знаем поле в заданной точке, то каким током оно может быть создано?" в этой связи представляется совсем загадочной. В фиксированной точке (пространственно-временной) я всегда могу построить любое поле из свободных решений $\mathbf{E}=\operatorname{const}$ и $\mathbf{H}=\operatorname{const}$ (в какой-то фиксированной СО). Если я знаю поле в слое (СО фиксирована) "малой временной толщины", то я мгновенно сосчитаю $\mathbf{j}$ тупо из уравнений Максвелла. Правда, поле сумею восстановить по токам с точностью до решения свободного уравнения. Видимо, здесь кроется сермяжная правда, но в чем она пока не усек.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1024444 писал(а):

Это логичная идея. Но вот раскладывается ли произвольная $p$-форма по таким плоскостям?

Возьмём, скажем, 6-мерное пространство и 3-форму.

Тут мне не хватает знаний. Может, тут как раз и провал, да.

[Kirill_Sal]

Мне честно говоря тоже не очень понятна связь между разложением на два бивектора и 2 токами. 2 инварианта - понятно, 2 тока - нет.
По этой же причине я задал вопрос о двух массах в гравитации.

-- 07.06.2015, 17:25 --

Munin
Может быть, минимальное число ортогональных поликовекторов, на которые может быть разложена $p$ форма в $n$ ($p<n$) мерном пространстве, - это и есть число ее инвариантов или размерность базиса вычесть число инвариантов? В любом случае, должно быть число, как-то связанное с размерностью пространства и числом инвариантных величин (или независимых компонент?), которые можно составить из компонент $p$ - формы.

[SergeyGubanov]

Допустим, мы формально разложили электромагнитное поле на "два слагаемых":

$$ d A = P_1 \wedge Q^1 + P_2 \wedge Q^2 \eqno(1) $$

Теперь чтобы всерьёз говорить о "двух токах" надо бы потребовать, чтобы эти два слагаемых по отдельности независимо друг от друга удовлетворяли уравнениям Максвелла, в частности:

$$ d \left( P_1 \wedge Q^1 \right) = 0 \; \to \; P_1 \wedge Q^1 = d A_{(1)} \eqno(2) $$

$$ d \left( P_2 \wedge Q^2 \right) = 0 \; \to \; P_2 \wedge Q^2 = d A_{(2)} \eqno(3) $$

а значит

$$ A = A_{(1)} + A_{(2)} \eqno(4) $$

Но тогда утверждение о "двух токах" становится вообще тривиальным.

С другой стороны, если вдруг в формальном разложении (1) слагаемые по отдельности независимо друг от друга уравнениям Максвелла не удовлетворяют, то говорить о "двух токах" не имеет смысла.

[Munin]

Munin в сообщении #1024444 писал(а):

Это логичная идея. Но вот раскладывается ли произвольная $p$-форма по таким плоскостям?

Возьмём, скажем, 6-мерное пространство и 3-форму.

Могу доказать, что нет.

Рассмотрим 6-мерное пространство. Полностью антисимметрический тензор 3 ранга (3-форма) в нём имеет 20 независимых параметров (только что посчитал вручную).

Допустим, мы его собираем из двух тривекторов. Два объекта дают 2 параметра. Произвольное ортогональное преобразование координат в 6-мерном пространстве 15-параметрическое. Итого, в сумме получается $2+15<20.$ Не хватает, увы.

В 5-мерном пространстве имеем 10 независимых параметров в произвольной 3-форме, и 10 параметров в произвольном преобразовании координат. Хватает (кстати, так же, как и в 4-мерном пространстве для 2-формы, поровну).

Вообще в $n$-мерном пространстве $C_n^3-C_n^2=\tfrac{1}{6}(n^3-6n^2+5n).$ Неутешительно.

-- 08.06.2015 14:06:23 --

amon в сообщении #1024452 писал(а):

Поэтому я, и прочие склеротики, поля от тех токов, которые давно закончились, считают свободными полями, у которых нет источников. Помогает в этом t-локальность уравнений.

Не, я рассматриваю задачу "по-фейнмановски" (см. его "электродинамику без полей", напр., в Нобелевской лекции; идеология также бегло упоминается в "Лекциях по гравитации"). Свободных полей нет, все поля где-то рано или поздно упираются в источники, от которых расходятся. По сути, рассматривается прямое дальнодействующее (в 4-мерном смысле) взаимодействие ток-ток. Да, мы при этом отказываемся от t-локальности, да ещё и опережающие поля, вообще-то, должны учитывать, зато это самая лоренц-инвариантная формулировка из всех возможных, и очень наглядная для рассуждений о вариационном принципе.

Кроме того. Если мы возьмём ограниченную 4-область, то на её границе придётся задавать "входящие" граничные условия - те самые "свободные поля", по-вашему. И вот, вместо этого, можно просто запустить по границе некоторые токи, которые изобразят эти "свободные поля"! Даёт нам это принцип Гюйгенса - мы просто заменяем входящие волны на "вторичные источники". Единственно, что для них, наверное, нельзя будет ждать сохранения тока, но это и ничего: они всё равно на границе, а не внутри чего-то (пускай они несохраняются за счёт другой стороны границы).

amon в сообщении #1024452 писал(а):

Наличие свободных полей, IMHO, несколько портит красивую картину связи бивекторов и источников, особенно для потенциалов, поскольку можно добавить как свободное поле, так и просто "чистую калибровку". При этом условие

...

IMHO нарушается.

Да, поле может прийти не из источника, но его можно представить и приходящим из источника. Дело в том, что мы локально вообще почти понятия не имеем, откуда поле - мы имеем большую неопределённость, о которой я уже писал Kirill_Sal в post1024400.html#p1024400 . Но мой вопрос и не требует однозначного ответа, я хочу подобрать хоть какой-то возможный источник. И обнаруживаю, что в общем случае не могу обойтись одним источником: поле должно приходить как минимум с двух разных направлений!

Что до "чистой калибровки", то от этого я избавляюсь, рассматривая не потенциал, а напряжённость.

Кстати, интересно. Вот если бы я рассматривал потенциал, то я мог бы в любой точке обойтись одним источником! Потому что потенциал - вектор, а не бивектор. Физически здесь дело в том, что напряжённость получается из потенциала как производная - и поэтому требуется совпадение не только значения в точке, но и совпадение в некоторой окрестности (до линейного порядка).

amon в сообщении #1024452 писал(а):

Видимо, здесь кроется сермяжная правда, но в чем она пока не усек.

Надеюсь, я сумел ссылками передать.

-- 08.06.2015 14:21:28 --

Kirill_Sal в сообщении #1024469 писал(а):

Мне честно говоря тоже не очень понятна связь между разложением на два бивектора и 2 токами. 2 инварианта - понятно, 2 тока - нет.
По этой же причине я задал вопрос о двух массах в гравитации.

Я бы цитировал Фейнмана кусками, но зачем?
По гравитации как раз я плаваю, так что не могу ответить.

Вопрос не столько физический, сколько азбучно-математический. Просто вызвал удивление.

Kirill_Sal в сообщении #1024469 писал(а):

Может быть, минимальное число ортогональных поликовекторов, на которые может быть разложена $p$ форма в $n$ ($p<n$) мерном пространстве, - это и есть число ее инвариантов или размерность базиса вычесть число инвариантов?

Хотелось бы. (Наверное, число инвариантов; или как-то с ними тесно связано.)
Но тут возникает и вопрос
3. (математический) Допустим, мы имеем представление $P$ непрерывной группы $G.$ Сколько инвариантов у элемента $P$ под действием $G$? (Видимо, это как-то связано с приводимостью...)

-- 08.06.2015 14:27:00 --

SergeyGubanov в сообщении #1024726 писал(а):

Допустим, мы формально разложили электромагнитное поле на "два слагаемых":

$$ d A = P_1 \wedge Q^1 + P_2 \wedge Q^2 \eqno(1) $$

Теперь чтобы всерьёз говорить о "двух токах" надо бы потребовать, чтобы эти два слагаемых по отдельности независимо друг от друга удовлетворяли уравнениям Максвелла

Разложение происходит в точке. А уравнения Максвелла - дифференциальные. Вы не поняли, о чём вопрос.

Разумеется, если рассматривать поле во всём пространстве, то оно может быть задано только $n$ токами, найти которые можно просто как правую часть уравнений Максвелла, взяв нужную производную. А если токи за пределами области, в которой задано поле - то никак, это "свободное поле", заданное граничными условиями, и может быть сымитировано разными условиями за пределами области.

Кроме того, вообще-то $P$ и $Q$ - не взятые с потолка символы, а один из них - ток, а другой - 4-радиус-вектор (плюс скалярный коэффициент от функции Грина).

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1024767 писал(а):

Разложение происходит в точке. А уравнения Максвелла - дифференциальные. Вы не поняли, о чём вопрос.

Разумеется, если рассматривать поле во всём пространстве, то оно может быть задано только $n$ токами, найти которые можно просто как правую часть уравнений Максвелла, взяв нужную производную. А если токи за пределами области, в которой задано поле - то никак, это "свободное поле", заданное граничными условиями, и может быть сымитировано разными условиями за пределами области.

Кроме того, вообще-то $P$ и $Q$ - не взятые с потолка символы, а один из них - ток, а другой - 4-радиус-вектор (плюс скалярный коэффициент от функции Грина).

Напишите пожалуйста формулой, а то не понятно где заканчивается речь про пространство событий и начинается про импульсное Фурье-пространство.

Дифференциальная 2-форма $F$ у Вас "живёт и раскладывается" в кокасательном расслоении пространства событий, или же в кокасательном расслоении импульсного Фурье-пространства?

[Kirill_Sal]

Munin в сообщении #1024767 писал(а):

Munin в сообщении #1024444 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1024469 писал(а):

Может быть, минимальное число ортогональных поликовекторов, на которые может быть разложена $p$ форма в $n$ ($p<n$) мерном пространстве, - это и есть число ее инвариантов или размерность базиса вычесть число инвариантов?

Хотелось бы. (Наверное, число инвариантов; или как-то с ними тесно связано.)
Но тут возникает и вопрос
3. (математический) Допустим, мы имеем представление $P$ непрерывной группы $G.$ Сколько инвариантов у элемента $P$ под действием $G$? (Видимо, это как-то связано с приводимостью...)

Думаю, последний наводящий вопрос такой: допустим, есть у нас произвольная $p$ - форма $\omega_{1}$ в $n$ - мерном пространстве и (другая произвольная) $p$ - форма $\omega_{2}$ в $m$ - мерном пространстве, причем $m>n$. Будет ли минимальное число ортогональных поливекторов для формы $\omega_{1}$ больше, чем для формы $\omega_{2}$?

По идее правильная постановка и ответ на 3-й вопрос таковы: рассмотрим группу $G$, действующую на множестве $S$. Пусть $R(G)$ - вполне приводимое представление этой группы в $S$. Разложим $R(G)$ в прямую сумму неприводимых представлений:

$R(G)=\bigoplus_{k=1}^{n} R_{k}(G)$.

Тогда число инвариантных подмножеств $S$ относительно группы $G$ равно размерности $n$ представления $R(G)$.

Я просто не совсем понял, что значит число инвариантов представления $P(G)$ относительно группы $G$, поэтому расписал определения, как я все это дело вижу.

Важно то, что необходимо указывать множество, на котором действует группа. И конечно, надо убрать из рассмотрения тривиальные случаи: сами пространство $H$ как подпространство самого себя и его нулевой элемент. Пустяковая вроде деталь, но весьма важная. Аналогично у матрицы компонент формы $\omega_{\alpha\beta...}$ равны нулю все диагональные элементы, - "инвариантная" величина $\operatorname{Sp{\omega_{\alpha\beta...}}}$ исключается из рассмотрения, как тривиальная. Но я тут на строгость не претендую, пусть лучше математики скажут, что правильно, а что нет. У меня довольно расплывчатое понимание связи между теорией представлений и формами (понимаю только то, что форма - это линейная "машина" (курс МТУ)).

[Munin]

Тензоры - это представления (тензорные). А внешние формы - это тензоры.

Например, мы знаем, как произведения представлений раскладываются в суммы неприводимых. Если взять квадрат спинорного представления спина $1/2$ группы 3-мерных вращений (две частицы спина $1/2$), то он разложится в сумму представлений спина $1$ и спина $0$ (триплетное и синглетное состояния пары частиц). Аналогично для группы $SU(3)$ в арифметике адронов и кварков.

И в то же время, мы знаем, что всякий тензор 2 ранга (в евклидовом пространстве) раскладывается на симметрическую и антисимметрическую части, что является аналогичным разложением. Дальше симметрическая и антисимметрическая приводятся к собственным осям, и могут быть описаны $n$ и $\lfloor n/2\rfloor$ инвариантами.

-- 08.06.2015 19:29:35 --

SergeyGubanov в сообщении #1024940 писал(а):

не понятно где заканчивается речь про пространство событий и начинается про импульсное Фурье-пространство.

У меня всё в координатном пространстве Минковского ("пространство событий", но без кривизны - не ОТО). Импульсное фурье-пространство закончилось в самом начале, в тот момент, когда мы "решили" (символически) уравнения Максвелла, и вернулись обратно в координатное пространство, вооружившись функцией Грина.

Так что, $F=F(x_\mu).$

[Kirill_Sal]

Munin
Ну тогда мы разобрались, что приведение тензора внешней формы к главным осям - это того же поля ягодка, что и разложение представления группы в прямую сумму неприводимых представлений. Но тогда, конечно, число инвариантов, которых можно составить из компонент формы, растет с размерностью пространства. Если исходные предположения верны и все учтено, то формулу уже можно угадать.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1024941 писал(а):

Думаю, последний наводящий вопрос такой: допустим, есть у нас произвольная $p$ - форма $\omega_{1}$ в $n$ - мерном пространстве и (другая произвольная) $p$ - форма $\omega_{2}$ в $m$ - мерном пространстве, причем $m>n$. Будет ли минимальное число ортогональных поливекторов для формы $\omega_{1}$ больше, чем для формы $\omega_{2}$?

Если $\omega_m$ в $m$-мерном, $\omega_n$ в $n$-мерном, и $m>n\geqslant 2p$ (последнее нужно, чтобы избавиться от "упрощения" по звёздочке Ходжа), то минимальное число $p$-векторов для $\omega_m$ будет $>$ минимального числа $p$-векторов для $\omega_n.$

Вот насчёт ортогональности я не уверен. Во-первых, очевидно (см. post1024767.html#p1024767 1-ю часть), что мы не сможем обойтись полностью ортогональными поливекторами, такими как $\vec{u}_1\wedge\ldots\vec{u}_p$ и $\vec{v}_1\wedge\ldots\vec{v}_p$ при условии $\forall\,\,i,j\colon\quad\vec{u}_i\perp\vec{v}_j.$ Возможно, можно обойтись пересекающимися (по подпространству) ортогональными (по ортогональным дополнениям) поливекторами, но даже и в этом я не уверен.

[Kirill_Sal]

Munin
Да, все логично. Немного сбили с толку обозначения $\omega_{n}$, $\omega_{m}$ с самого начала. И то, и другое - $p$-формы все-таки.

Я думаю, что ответ теперь уже очевиден: минимальное число поливекторов $r$ действительно будет равно числу инвариантов или размерности представления (рангу матрицы) $\omega_{\alpha\beta...}$. Явная зависимость этого числа от размерности пространства нам и не нужна, разумеется.

Поливекторы данного разложения, конечно, принадлежат базису внешней алгебры. Какие соотношения справедливы для базисных (линейно-независимых) элементов во внешней алгебре?

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #1024983 писал(а):

У меня всё в координатном пространстве Минковского ("пространство событий", но без кривизны - не ОТО). Импульсное фурье-пространство закончилось в самом начале, в тот момент, когда мы "решили" (символически) уравнения Максвелла, и вернулись обратно в координатное пространство, вооружившись функцией Грина.

Так что, $F=F(x_\mu).$

Хорошо, но тогда моё первое сообщение остаётся в силе:

SergeyGubanov в сообщении #1024726 писал(а):

Допустим, мы формально разложили электромагнитное поле на "два слагаемых":

$$ d A = P_1 \wedge Q^1 + P_2 \wedge Q^2 \eqno(1) $$

Теперь чтобы всерьёз говорить о "двух токах" надо бы потребовать, чтобы эти два слагаемых по отдельности независимо друг от друга удовлетворяли уравнениям Максвелла, в частности:

$$ d \left( P_1 \wedge Q^1 \right) = 0 \; \to \; P_1 \wedge Q^1 = d A_{(1)} \eqno(2) $$

$$ d \left( P_2 \wedge Q^2 \right) = 0 \; \to \; P_2 \wedge Q^2 = d A_{(2)} \eqno(3) $$

а значит

$$ A = A_{(1)} + A_{(2)} \eqno(4) $$

Но тогда утверждение о "двух токах" становится вообще тривиальным.

Понимаете в чём дело, вот разложили $F = F_1 + F_2$ на два слагаемых. Для того чтобы рассматривать $F_1$ и $F_2$ по отдельности независимо друг от друга в качестве электромагнитного поля нужно потребовать чтобы каждое из этих слагаемых удовлетворяло уравнениям Максвелла с каким-то своим током:

$$ d F_1 = 0, \quad \star d \star F_1 = 4 \pi J_1 $$

$$ d F_2 = 0, \quad \star d \star F_2 = 4 \pi J_2 $$

$$ d (F_1 + F_2) = 0, \quad \star d \star (F_1 + F_2) = 4 \pi (J_1 + J_2) $$

но тогда тривиально $A = A_1 + A_2$ и не ясно ради чего весь этот сыр бор городить.

С другой стороны, если $F_1$ и $F_2$ уравнениям Максвелла с каким-то током в правой части не удовлетворяют, то ни $F_1$ ни $F_2$ взятые по отдельности электромагнитными полями не являются. Электромагнитным полем является только их сумма. Тогда опять не ясно ради чего сыр бор. В чём профит?

[Kirill_Sal]

SergeyGubanov
а в какой точке Вы уравнения Максвелла с токами пишите?
т.е.весь сыр бор именно в том, что среда, в которой производится измерение полей (искусственное создание полей) - вакуум.