2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение07.06.2015, 16:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Kirill_Sal в сообщении #1024420 писал(а):
Если случай $p>n$ у Вас включен как тривиальный, то может и правильно. Вообще, все формы с $p>n$ тривиальны, поэтому их не рассматривают, конечно.
Вообще, я его не включал — он сам включился. :-)

Интересно, что скажет Munin на внезапное разрешение первого вопроса…

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение07.06.2015, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #1024405 писал(а):
Должно быть $\lfloor n/p\rfloor$ — сколько можно найти $p$-плоскостей, пересекающихся только в нуле, в $n$-мерном пространстве. И даже, выходит, если $n\not\gg3$.

Это логичная идея. Но вот раскладывается ли произвольная $p$-форма по таким плоскостям?

Возьмём, скажем, 6-мерное пространство и 3-форму.

Kirill_Sal в сообщении #1024420 писал(а):
Предлагаю начать с очень простого вопроса.

Вообще-то, честно говоря, 1-й вопрос меня сейчас интересует больше, чем 2-й. Но вот как его сформулировать, чтобы пойти задать вопрос на математический раздел, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение07.06.2015, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1024252 писал(а):
Итак, если мы знаем поле в заданной точке, то каким током оно может быть создано?
А я, честно говоря, постановки этой задачи не понял. Если перевести все с Высокого Наречия на язык рабочих и крестьян, то, IMHO, получится вот что.

"Прямая задача". Выберем точку и ИСО с началом координат в этой точке. Наше поле создано токами, координаты которых живут в абсолютном прошлом в такой системе координат. Если мы знаем все токи от сотворения мира, то мы это поле сосчитаем, но старческий склероз мне лично мешает это сделать. Поэтому я, и прочие склеротики, поля от тех токов, которые давно закончились, считают свободными полями, у которых нет источников. Помогает в этом t-локальность уравнений. Наличие свободных полей, IMHO, несколько портит красивую картину связи бивекторов и источников, особенно для потенциалов, поскольку можно добавить как свободное поле, так и просто "чистую калибровку". При этом условие
Munin в сообщении #1024252 писал(а):
это бивектор, одна из компонент которого направлена по направлению 4-вектора $A_\mu,$ вдоль тока $j_\mu,$ а вот другая - по радиус-вектору из точки тока в точку наблюдения
IMHO нарушается.

Обратная задача:" если мы знаем поле в заданной точке, то каким током оно может быть создано?" в этой связи представляется совсем загадочной. В фиксированной точке (пространственно-временной) я всегда могу построить любое поле из свободных решений $\mathbf{E}=\operatorname{const}$ и $\mathbf{H}=\operatorname{const}$ (в какой-то фиксированной СО). Если я знаю поле в слое (СО фиксирована) "малой временной толщины", то я мгновенно сосчитаю $\mathbf{j}$ тупо из уравнений Максвелла. Правда, поле сумею восстановить по токам с точностью до решения свободного уравнения. Видимо, здесь кроется сермяжная правда, но в чем она пока не усек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение07.06.2015, 17:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #1024444 писал(а):
Это логичная идея. Но вот раскладывается ли произвольная $p$-форма по таким плоскостям?

Возьмём, скажем, 6-мерное пространство и 3-форму.
Тут мне не хватает знаний. Может, тут как раз и провал, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение07.06.2015, 17:10 
Заморожен


24/06/14
358
Мне честно говоря тоже не очень понятна связь между разложением на два бивектора и 2 токами. 2 инварианта - понятно, 2 тока - нет.
По этой же причине я задал вопрос о двух массах в гравитации.

-- 07.06.2015, 17:25 --

Munin
Может быть, минимальное число ортогональных поликовекторов, на которые может быть разложена $p$ форма в $n$ ($p<n$) мерном пространстве, - это и есть число ее инвариантов или размерность базиса вычесть число инвариантов? В любом случае, должно быть число, как-то связанное с размерностью пространства и числом инвариантных величин (или независимых компонент?), которые можно составить из компонент $p$ - формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 11:47 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Допустим, мы формально разложили электромагнитное поле на "два слагаемых":
$$
d A = P_1 \wedge Q^1 + P_2 \wedge Q^2 \eqno(1)
$$ Теперь чтобы всерьёз говорить о "двух токах" надо бы потребовать, чтобы эти два слагаемых по отдельности независимо друг от друга удовлетворяли уравнениям Максвелла, в частности:
$$
d \left( P_1 \wedge Q^1 \right) = 0 \; \to \; P_1 \wedge Q^1 = d A_{(1)} \eqno(2)
$$$$
d \left( P_2 \wedge Q^2 \right) = 0 \; \to \; P_2 \wedge Q^2 = d A_{(2)} \eqno(3)
$$
а значит
$$
A = A_{(1)} + A_{(2)} \eqno(4)
$$
Но тогда утверждение о "двух токах" становится вообще тривиальным.

С другой стороны, если вдруг в формальном разложении (1) слагаемые по отдельности независимо друг от друга уравнениям Максвелла не удовлетворяют, то говорить о "двух токах" не имеет смысла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Munin в сообщении #1024444 писал(а):
Это логичная идея. Но вот раскладывается ли произвольная $p$-форма по таким плоскостям?

Возьмём, скажем, 6-мерное пространство и 3-форму.

Могу доказать, что нет.

Рассмотрим 6-мерное пространство. Полностью антисимметрический тензор 3 ранга (3-форма) в нём имеет 20 независимых параметров (только что посчитал вручную).

Допустим, мы его собираем из двух тривекторов. Два объекта дают 2 параметра. Произвольное ортогональное преобразование координат в 6-мерном пространстве 15-параметрическое. Итого, в сумме получается $2+15<20.$ Не хватает, увы.

В 5-мерном пространстве имеем 10 независимых параметров в произвольной 3-форме, и 10 параметров в произвольном преобразовании координат. Хватает (кстати, так же, как и в 4-мерном пространстве для 2-формы, поровну).

Вообще в $n$-мерном пространстве $C_n^3-C_n^2=\tfrac{1}{6}(n^3-6n^2+5n).$ Неутешительно.

-- 08.06.2015 14:06:23 --

amon в сообщении #1024452 писал(а):
Поэтому я, и прочие склеротики, поля от тех токов, которые давно закончились, считают свободными полями, у которых нет источников. Помогает в этом t-локальность уравнений.

Не, я рассматриваю задачу "по-фейнмановски" (см. его "электродинамику без полей", напр., в Нобелевской лекции; идеология также бегло упоминается в "Лекциях по гравитации"). Свободных полей нет, все поля где-то рано или поздно упираются в источники, от которых расходятся. По сути, рассматривается прямое дальнодействующее (в 4-мерном смысле) взаимодействие ток-ток. Да, мы при этом отказываемся от t-локальности, да ещё и опережающие поля, вообще-то, должны учитывать, зато это самая лоренц-инвариантная формулировка из всех возможных, и очень наглядная для рассуждений о вариационном принципе.

Кроме того. Если мы возьмём ограниченную 4-область, то на её границе придётся задавать "входящие" граничные условия - те самые "свободные поля", по-вашему. И вот, вместо этого, можно просто запустить по границе некоторые токи, которые изобразят эти "свободные поля"! Даёт нам это принцип Гюйгенса - мы просто заменяем входящие волны на "вторичные источники". Единственно, что для них, наверное, нельзя будет ждать сохранения тока, но это и ничего: они всё равно на границе, а не внутри чего-то (пускай они несохраняются за счёт другой стороны границы).

amon в сообщении #1024452 писал(а):
Наличие свободных полей, IMHO, несколько портит красивую картину связи бивекторов и источников, особенно для потенциалов, поскольку можно добавить как свободное поле, так и просто "чистую калибровку". При этом условие
    ...
IMHO нарушается.

Да, поле может прийти не из источника, но его можно представить и приходящим из источника. Дело в том, что мы локально вообще почти понятия не имеем, откуда поле - мы имеем большую неопределённость, о которой я уже писал Kirill_Sal в post1024400.html#p1024400 . Но мой вопрос и не требует однозначного ответа, я хочу подобрать хоть какой-то возможный источник. И обнаруживаю, что в общем случае не могу обойтись одним источником: поле должно приходить как минимум с двух разных направлений!

Что до "чистой калибровки", то от этого я избавляюсь, рассматривая не потенциал, а напряжённость.

Кстати, интересно. Вот если бы я рассматривал потенциал, то я мог бы в любой точке обойтись одним источником! Потому что потенциал - вектор, а не бивектор. Физически здесь дело в том, что напряжённость получается из потенциала как производная - и поэтому требуется совпадение не только значения в точке, но и совпадение в некоторой окрестности (до линейного порядка).

amon в сообщении #1024452 писал(а):
Видимо, здесь кроется сермяжная правда, но в чем она пока не усек.

Надеюсь, я сумел ссылками передать.

-- 08.06.2015 14:21:28 --

Kirill_Sal в сообщении #1024469 писал(а):
Мне честно говоря тоже не очень понятна связь между разложением на два бивектора и 2 токами. 2 инварианта - понятно, 2 тока - нет.
По этой же причине я задал вопрос о двух массах в гравитации.

Я бы цитировал Фейнмана кусками, но зачем?
По гравитации как раз я плаваю, так что не могу ответить.

Вопрос не столько физический, сколько азбучно-математический. Просто вызвал удивление.

Kirill_Sal в сообщении #1024469 писал(а):
Может быть, минимальное число ортогональных поликовекторов, на которые может быть разложена $p$ форма в $n$ ($p<n$) мерном пространстве, - это и есть число ее инвариантов или размерность базиса вычесть число инвариантов?

Хотелось бы. (Наверное, число инвариантов; или как-то с ними тесно связано.)
Но тут возникает и вопрос
3. (математический) Допустим, мы имеем представление $P$ непрерывной группы $G.$ Сколько инвариантов у элемента $P$ под действием $G$? (Видимо, это как-то связано с приводимостью...)

-- 08.06.2015 14:27:00 --

SergeyGubanov в сообщении #1024726 писал(а):
Допустим, мы формально разложили электромагнитное поле на "два слагаемых":
$$
d A = P_1 \wedge Q^1 + P_2 \wedge Q^2 \eqno(1)
$$ Теперь чтобы всерьёз говорить о "двух токах" надо бы потребовать, чтобы эти два слагаемых по отдельности независимо друг от друга удовлетворяли уравнениям Максвелла

Разложение происходит в точке. А уравнения Максвелла - дифференциальные. Вы не поняли, о чём вопрос.

Разумеется, если рассматривать поле во всём пространстве, то оно может быть задано только $n$ токами, найти которые можно просто как правую часть уравнений Максвелла, взяв нужную производную. А если токи за пределами области, в которой задано поле - то никак, это "свободное поле", заданное граничными условиями, и может быть сымитировано разными условиями за пределами области.

Кроме того, вообще-то $P$ и $Q$ - не взятые с потолка символы, а один из них - ток, а другой - 4-радиус-вектор (плюс скалярный коэффициент от функции Грина).

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 17:48 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #1024767 писал(а):
Разложение происходит в точке. А уравнения Максвелла - дифференциальные. Вы не поняли, о чём вопрос.

Разумеется, если рассматривать поле во всём пространстве, то оно может быть задано только $n$ токами, найти которые можно просто как правую часть уравнений Максвелла, взяв нужную производную. А если токи за пределами области, в которой задано поле - то никак, это "свободное поле", заданное граничными условиями, и может быть сымитировано разными условиями за пределами области.

Кроме того, вообще-то $P$ и $Q$ - не взятые с потолка символы, а один из них - ток, а другой - 4-радиус-вектор (плюс скалярный коэффициент от функции Грина).
Напишите пожалуйста формулой, а то не понятно где заканчивается речь про пространство событий и начинается про импульсное Фурье-пространство.

Дифференциальная 2-форма $F$ у Вас "живёт и раскладывается" в кокасательном расслоении пространства событий, или же в кокасательном расслоении импульсного Фурье-пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 17:48 
Заморожен


24/06/14
358
Munin в сообщении #1024767 писал(а):
Munin в сообщении #1024444 писал(а):
Kirill_Sal в сообщении #1024469 писал(а):
Может быть, минимальное число ортогональных поликовекторов, на которые может быть разложена $p$ форма в $n$ ($p<n$) мерном пространстве, - это и есть число ее инвариантов или размерность базиса вычесть число инвариантов?

Хотелось бы. (Наверное, число инвариантов; или как-то с ними тесно связано.)
Но тут возникает и вопрос
3. (математический) Допустим, мы имеем представление $P$ непрерывной группы $G.$ Сколько инвариантов у элемента $P$ под действием $G$? (Видимо, это как-то связано с приводимостью...)


Думаю, последний наводящий вопрос такой: допустим, есть у нас произвольная $p$ - форма $\omega_{1}$ в $n$ - мерном пространстве и (другая произвольная) $p$ - форма $\omega_{2}$ в $m$ - мерном пространстве, причем $m>n$. Будет ли минимальное число ортогональных поливекторов для формы $\omega_{1}$ больше, чем для формы $\omega_{2}$?

По идее правильная постановка и ответ на 3-й вопрос таковы: рассмотрим группу $G$, действующую на множестве $S$. Пусть $R(G)$ - вполне приводимое представление этой группы в $S$. Разложим $R(G)$ в прямую сумму неприводимых представлений:

$R(G)=\bigoplus_{k=1}^{n} R_{k}(G)$.

Тогда число инвариантных подмножеств $S$ относительно группы $G$ равно размерности $n$ представления $R(G)$.

Я просто не совсем понял, что значит число инвариантов представления $P(G)$ относительно группы $G$, поэтому расписал определения, как я все это дело вижу.

Важно то, что необходимо указывать множество, на котором действует группа. И конечно, надо убрать из рассмотрения тривиальные случаи: сами пространство $H$ как подпространство самого себя и его нулевой элемент. Пустяковая вроде деталь, но весьма важная. Аналогично у матрицы компонент формы $\omega_{\alpha\beta...}$ равны нулю все диагональные элементы, - "инвариантная" величина $\operatorname{Sp{\omega_{\alpha\beta...}}}$ исключается из рассмотрения, как тривиальная. Но я тут на строгость не претендую, пусть лучше математики скажут, что правильно, а что нет. У меня довольно расплывчатое понимание связи между теорией представлений и формами (понимаю только то, что форма - это линейная "машина" (курс МТУ)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тензоры - это представления (тензорные). А внешние формы - это тензоры.

Например, мы знаем, как произведения представлений раскладываются в суммы неприводимых. Если взять квадрат спинорного представления спина $1/2$ группы 3-мерных вращений (две частицы спина $1/2$), то он разложится в сумму представлений спина $1$ и спина $0$ (триплетное и синглетное состояния пары частиц). Аналогично для группы $SU(3)$ в арифметике адронов и кварков.

И в то же время, мы знаем, что всякий тензор 2 ранга (в евклидовом пространстве) раскладывается на симметрическую и антисимметрическую части, что является аналогичным разложением. Дальше симметрическая и антисимметрическая приводятся к собственным осям, и могут быть описаны $n$ и $\lfloor n/2\rfloor$ инвариантами.

-- 08.06.2015 19:29:35 --

SergeyGubanov в сообщении #1024940 писал(а):
не понятно где заканчивается речь про пространство событий и начинается про импульсное Фурье-пространство.

У меня всё в координатном пространстве Минковского ("пространство событий", но без кривизны - не ОТО). Импульсное фурье-пространство закончилось в самом начале, в тот момент, когда мы "решили" (символически) уравнения Максвелла, и вернулись обратно в координатное пространство, вооружившись функцией Грина.

Так что, $F=F(x_\mu).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 19:45 
Заморожен


24/06/14
358
Munin
Ну тогда мы разобрались, что приведение тензора внешней формы к главным осям - это того же поля ягодка, что и разложение представления группы в прямую сумму неприводимых представлений. Но тогда, конечно, число инвариантов, которых можно составить из компонент формы, растет с размерностью пространства. Если исходные предположения верны и все учтено, то формулу уже можно угадать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Kirill_Sal в сообщении #1024941 писал(а):
Думаю, последний наводящий вопрос такой: допустим, есть у нас произвольная $p$ - форма $\omega_{1}$ в $n$ - мерном пространстве и (другая произвольная) $p$ - форма $\omega_{2}$ в $m$ - мерном пространстве, причем $m>n$. Будет ли минимальное число ортогональных поливекторов для формы $\omega_{1}$ больше, чем для формы $\omega_{2}$?

Если $\omega_m$ в $m$-мерном, $\omega_n$ в $n$-мерном, и $m>n\geqslant 2p$ (последнее нужно, чтобы избавиться от "упрощения" по звёздочке Ходжа), то минимальное число $p$-векторов для $\omega_m$ будет $>$ минимального числа $p$-векторов для $\omega_n.$

Вот насчёт ортогональности я не уверен. Во-первых, очевидно (см. post1024767.html#p1024767 1-ю часть), что мы не сможем обойтись полностью ортогональными поливекторами, такими как $\vec{u}_1\wedge\ldots\vec{u}_p$ и $\vec{v}_1\wedge\ldots\vec{v}_p$ при условии $\forall\,\,i,j\colon\quad\vec{u}_i\perp\vec{v}_j.$ Возможно, можно обойтись пересекающимися (по подпространству) ортогональными (по ортогональным дополнениям) поливекторами, но даже и в этом я не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение08.06.2015, 20:25 
Заморожен


24/06/14
358
Munin
Да, все логично. Немного сбили с толку обозначения $\omega_{n}$, $\omega_{m}$ с самого начала. И то, и другое - $p$-формы все-таки.

Я думаю, что ответ теперь уже очевиден: минимальное число поливекторов $r$ действительно будет равно числу инвариантов или размерности представления (рангу матрицы) $\omega_{\alpha\beta...}$. Явная зависимость этого числа от размерности пространства нам и не нужна, разумеется.

Поливекторы данного разложения, конечно, принадлежат базису внешней алгебры. Какие соотношения справедливы для базисных (линейно-независимых) элементов во внешней алгебре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 13:48 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Munin в сообщении #1024983 писал(а):
У меня всё в координатном пространстве Минковского ("пространство событий", но без кривизны - не ОТО). Импульсное фурье-пространство закончилось в самом начале, в тот момент, когда мы "решили" (символически) уравнения Максвелла, и вернулись обратно в координатное пространство, вооружившись функцией Грина.

Так что, $F=F(x_\mu).$
Хорошо, но тогда моё первое сообщение остаётся в силе:
SergeyGubanov в сообщении #1024726 писал(а):
Допустим, мы формально разложили электромагнитное поле на "два слагаемых":
$$
d A = P_1 \wedge Q^1 + P_2 \wedge Q^2 \eqno(1)
$$ Теперь чтобы всерьёз говорить о "двух токах" надо бы потребовать, чтобы эти два слагаемых по отдельности независимо друг от друга удовлетворяли уравнениям Максвелла, в частности:
$$
d \left( P_1 \wedge Q^1 \right) = 0 \; \to \; P_1 \wedge Q^1 = d A_{(1)} \eqno(2)
$$$$
d \left( P_2 \wedge Q^2 \right) = 0 \; \to \; P_2 \wedge Q^2 = d A_{(2)} \eqno(3)
$$а значит$$
A = A_{(1)} + A_{(2)} \eqno(4)
$$Но тогда утверждение о "двух токах" становится вообще тривиальным.
Понимаете в чём дело, вот разложили $F = F_1 + F_2$ на два слагаемых. Для того чтобы рассматривать $F_1$ и $F_2$ по отдельности независимо друг от друга в качестве электромагнитного поля нужно потребовать чтобы каждое из этих слагаемых удовлетворяло уравнениям Максвелла с каким-то своим током:
$$
d F_1 = 0, \quad \star d \star F_1 = 4 \pi J_1
$$$$
d F_2 = 0, \quad \star d \star F_2 = 4 \pi J_2
$$$$
d (F_1 + F_2) = 0, \quad \star d \star (F_1 + F_2) = 4 \pi (J_1 + J_2)
$$ но тогда тривиально $A = A_1 + A_2$ и не ясно ради чего весь этот сыр бор городить.

С другой стороны, если $F_1$ и $F_2$ уравнениям Максвелла с каким-то током в правой части не удовлетворяют, то ни $F_1$ ни $F_2$ взятые по отдельности электромагнитными полями не являются. Электромагнитным полем является только их сумма. Тогда опять не ясно ради чего сыр бор. В чём профит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Чтобы создать произвольное э.-м. поле, нужно два тока
Сообщение09.06.2015, 14:18 
Заморожен


24/06/14
358
SergeyGubanov
а в какой точке Вы уравнения Максвелла с токами пишите?
т.е.весь сыр бор именно в том, что среда, в которой производится измерение полей (искусственное создание полей) - вакуум.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group