получение уравнений Эйнштейна

[schekn]

Kirill_Sal в сообщении #1023758 писал(а):

Вы спросили, как выводили ЛЛ. Я хотел Вам ответить, а Вы философствовать начали зачем-то.

Еще раз - без философий - у меня возникли члены со вторыми производными (4), кроме уравнений Эйнштейна, в рамках ЛЛ-2 пар 95. Я хочу понять почему. Где ошибка?

[Kirill_Sal]

Ну и что? Хоть вторые, хоть третьи. Первые производные метрики в используемой системе координат равны нулю, так что появление вторых вполне ожидаемо.
Чему полная добавка к интегралу с тензором Эйнштейна получилась равной?

[schekn]

Kirill_Sal в сообщении #1023765 писал(а):

Ну и что? Хоть вторые, хоть третьи. Первые производные метрики в используемой системе координат равны нулю, так что появление вторых вполне ожидаемо.
Чему полная добавка к интегралу с тензором Эйнштейна получилась равной?

Вот это первый член:

$$\sqrt{-g}g_{ik}\frac{\delta{g^{lm}}}{2}[\frac{\partial^{2} g_{mi}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}+\frac{\partial^{2} g_{mk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{ik}}{\partial x^{m}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{lm}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}]\quad(5)$$

А вот это второй:

$$\sqrt{-g}g_{ik}\frac{{g^{lm}}}{2}[\delta \frac{\partial^{2} g_{mi}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}+\delta \frac{\partial^{2} g_{mk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\delta \frac{\partial^{2} g_{ik}}{\partial x^{m}\partial x^{l}}- \delta\frac{\partial^{2} g_{lm}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}]\quad(6)$$

Так почему можно заменить в локально геодезической вариацию по метрике к вариации по кристоффелю?

[Kirill_Sal]

schekn
Вы чем занимаетесь, извините?
В используемой СК:

$R_{\alpha\beta}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta,\gamma}-\Gamma^{\gamma}_{\alpha\gamma,\beta}$

Про линейность символа варьирования Вы тоже не слышали?

[schekn]

Kirill_Sal в сообщении #1023780 писал(а):

schekn
Вы чем занимаетесь, извините?
В используемой СК:

$R_{\alpha\beta}=\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta,\gamma}-\Gamma^{\gamma}_{\alpha\gamma,\beta}$

Про линейность символа варьирования Вы тоже не слышали?

ну все правильно.
так ошибка где?

[Kirill_Sal]

Забудьте про метрику. Вам нужно взять вариацию от $R_{\alpha\beta}$.
Вот и вычисляйте ее по формуле, не расписывая связность в явном виде (зачем усложнять?); операцию дифференцирования можно поменять местами с вариацией. Затем $g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}$ легко приводится к 4-х дивергенции. Теперь вспомните, что величины $\delta\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}$ образуют тензор (нестрогое док-во есть в том же параграфе) и напишите выражение для 4-х дивергенции в произвольной (нелоренцевой) системе координат. Затем теорема Гаусса.

[Nirowulf]

schekn
Если воспользоваться тождеством Палатини

$$\delta R_{\mu \nu}=\nabla_\lambda \delta \Gamma^\lambda_{\nu \mu}-\nabla_\nu\delta \Gamma^\lambda_{\lambda \mu},$$

то член $\sqrt{-g}g^{\mu \nu}\delta R_{\mu \nu}$ превращается в полную дивергенцию в одну строчку.

По сути, Ландафшиц тоже пользуется этим тождеством, только в локально геодезической системе координат.

[Kirill_Sal]

Nirowulf
У человека сессия на носу - с Ландау надо разобраться.

[Munin]

Да вы что. Какая сессия? Он триста лет жуёт жвачку на форумах, опровергунствует, и триста лет тупит над простыми вещами.

[schekn]

Kirill_Sal в сообщении #1023809 писал(а):

Теперь вспомните, что величины $\delta\Gamma^{\gamma}_{\alpha\beta}$ образуют тензор (нестрогое док-во есть в том же параграфе) и напишите выражение для 4-х дивергенции в произвольной (нелоренцевой) системе координат. Затем теорема Гаусса.

Nirowulf в сообщении #1023844 писал(а):

По сути, Ландафшиц тоже пользуется этим тождеством, только в локально геодезической системе координат.

У меня нет вопросов по вашим замечаниям. Почему на границе полученный дивергентный член обращается в ноль? Я туплю, потому что вначале пар. 95 говорится , вариация идет по метрическим компонентам , а в результате в произвольной координатной системе в этом члене стоит вектор $\omega^{l}$ в котором вариация связности.

-- 07.06.2015, 10:10 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1024157 писал(а):

и триста лет тупит

Столько не живут.

-- 07.06.2015, 10:26 --

Был бы признателен, если кто-то смог бы достать статью в "Вестник Московского Университета , сер. физика, 1979, №5, стр. 68-70
Цейтлин, Пономарев " О вариационном принципе ОТО".

(или их же 1978, №6, 56-59, О корректном использовании принципа Платини в гравитационных полях).

У меня нет доступа к библиотеке МГУ. Может там есть ответ на мои непонятки.

[Munin]

Опровергуны такие конспирологи...

[Kirill_Sal]

schekn
Потому что ЛЛ считают пространство асимптотически плоским. Символы Кристоффеля там нулю равны, как и их вариации. Вы бы написали этот дивергентный член хоть раз...

[schekn]

Kirill_Sal в сообщении #1024344 писал(а):

Потому что ЛЛ считают пространство асимптотически плоским.

А где считают? Я наверное упустил этот момент у ЛЛ-2. Можете привести цитату?

[Nirowulf]

schekn
На самом деле у Ландафшица написаны вот такие слова, перед формулой (95,2):

ЛЛ-2 писал(а):

Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает.

Строго говоря, это не так. Если выразить этот член через вариацию метрики, то он имеет вид

$$\int d^4 x \sqrt{-g} \, \nabla_\lambda \left[ \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu} \right]$$

и сводится к следующему поверхностному интегралу

$$\oint dS_\lambda \, \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}. \eqno (1)$$

Из того, что вариация поля есть нуль на поверхности, не следует, что производная от неё тоже нуль на поверхности. В этот поверхностный интеграл будет давать ненулевой вклад производная от вариации метрики вдоль вектора нормали к поверхности. Про эту ситуацию и говорится в приведённом вами отрывке из книги Иваненко.

В Ландафшице это заметено под ковёр и граничные члены просто отбрасывают. Можно ли написать такое действие в ОТО, для которого вариационный принцип будет хорошо определён?

Да, можно. Одним из вариантов является действие( параграф 93 в ЛЛ-2)

$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \, G=\int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right). \eqno (2)$$

Вариация этого действия приводит к уравнениям Эйнштейна без возникновения поверхностного члена $(1).$ У действия $(2)$ один недостаток $-$ нековариантность. Поэтому Гиббонс, Хокинг и Йорк придумали одноимённый ковариантный член, который надо добавить к действию Эйнштейна-Гильберта.

$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}\, K,$$

где $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика, а $K$ есть след второй основной формы поверхности. Вариация члена Гиббонса-Хокинга-Йорка в точности сокращает нежелательный поверхностный член $(1),$ оставляя поверхностный вклад, содержащий лишь саму вариацию метрики, которая равна нулю на поверхности. Таким образом, вариация суммарного действия $S_{EH}+S_{GHY}$ приводит в точности к уравнениям Эйнштейна.

[schekn]

Nirowulf в сообщении #1025147 писал(а):

schekn
На самом деле у Ландафшица написаны вот такие слова, перед формулой (95,2):

ЛЛ-2 писал(а):

Поскольку на пределах интегрирования вариация поля равна нулю, то этот член исчезает.

Строго говоря, это не так. Если выразить этот член через вариацию метрики, то он имеет вид

$$\int d^4 x \sqrt{-g} \, \nabla_\lambda \left[ \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu} \right]$$

и сводится к следующему поверхностному интегралу

$$\oint dS_\lambda \, \left(g^{\lambda \mu}g^{\sigma \nu}-g^{\lambda \sigma}g^{\mu \nu} \right)\nabla_\sigma \delta g_{\mu \nu}. \eqno (1)$$

Из того, что вариация поля есть нуль на поверхности, не следует, что производная от неё тоже нуль на поверхности. В этот поверхностный интеграл будет давать ненулевой вклад производная от вариации метрики вдоль вектора нормали к поверхности. Про эту ситуацию и говорится в приведённом вами отрывке из книги Иваненко.

В Ландафшице это заметено под ковёр и граничные члены просто отбрасывают. Можно ли написать такое действие в ОТО, для которого вариационный принцип будет хорошо определён?

Да, можно. Одним из вариантов является действие( параграф 93 в ЛЛ-2)

$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \, G=\int d^4x \sqrt{-g} \, g^{\mu \nu} \left( \Gamma^\rho_{\mu \omega}\Gamma^{\omega}_{\nu \rho}-\Gamma^\rho_{\mu \nu}\Gamma^{\rho}_{\omega \rho}\right). \eqno (2)$$

Вариация этого действия приводит к уравнениям Эйнштейна без возникновения поверхностного члена $(1).$ У действия $(2)$ один недостаток $-$ нековариантность. Поэтому Гиббонс, Хокинг и Йорк придумали одноимённый ковариантный член, который надо добавить к действию Эйнштейна-Гильберта.

$$S_{GHY}=\oint dS \sqrt{-h}\, K,$$

где $h_{\mu \nu}$ это индуцированная метрика, а $K$ есть след второй основной формы поверхности. Вариация члена Гиббонса-Хокинга-Йорка в точности сокращает нежелательный поверхностный член $(1),$ оставляя поверхностный вклад, содержащий лишь саму вариацию метрики, которая равна нулю на поверхности. Таким образом, вариация суммарного действия $S_{EH}+S_{GHY}$ приводит в точности к уравнениям Эйнштейна.

Спасибо , Nirowulf. У меня было ощущение, что там в пар. 95 что-то не так.
93 я смотрел и обратил внимание на нековариантность, что правда не мешает теоретикам пользоваться усеченным действием с лагранжианом $G$ (например у Фаддеева).
Про добавочный член Хокинга.. не знал. Посмотрю еще , может возникнуть вопросы. Ну то есть они используют некоторый искусственный прием. Проще наверное просто постулировать сами уравнения.