Один товарищ на астрофоруме задал вопрос, я полез разбираться и до конца не понял в чем зарыта собака.
Обычно некоторые опущенные вычисления у ЛЛ-2 принимаешь на веру, а тут решил проверить.
В пар. 95 ЛЛ-2 стр.370-371 рассматривается лагранжиан в виде :
Варьирование берется по метрическим компонентам. В результате первые 2 члена дают сразу левую нужную нам часть уравнений
Эйнштейна.
Остается вариация тензора Риччи
. Надо показать, что этот член есть дивергенция и тогда по теореме Гаусса интеграл от нее по всему пространству можно представить как интеграл вектора по гиперповерхности, вариация которого на границе зануляется.
Для упрощения вычислений Ландау переходит к локально геодезической системе координат, в которой
и все первые производные от
равны нулю.
Тогда тензор Риччи упрощается:
Распишем символы Кристоффеля для выражения (1)
И производные , учитывая, что первые производные метрических компонент по координатам нули :
Подставляем (2) и (3) в (1) получим :
![$$R_{ik}=\frac{g^{lm}}{2}[\frac{\partial^{2} g_{mi}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}+\frac{\partial^{2} g_{mk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{ik}}{\partial x^{m}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{lm}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}]\quad(4)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/1/8a1ef6ccd126b2012c2c71ecefb43da082.png "$$R_{ik}=\frac{g^{lm}}{2}[\frac{\partial^{2} g_{mi}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}+\frac{\partial^{2} g_{mk}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{ik}}{\partial x^{m}\partial x^{l}}-\frac{\partial^{2} g_{lm}}{\partial x^{i}\partial x^{k}}]\quad(4)$$")
А теперь осталось понять, почему такое выражение:
образует дивергенцию. Или почему вариация по компонентам метрического тензора оставшегося выражения (4) ноль.
Тут мы имеем 2 члена - один состоящий из вторых производных (4) и еще вариация самих вторых производных.
И что делать далее непонятно.
