Сходимость интеграла

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1021098 писал(а):

$\ x^a\geqslant\pi n + \pi/6$ при $a\geqslant 0$ и $n\geqslant 1$ Вот так, надеюсь, верно

И не надейтесь.

[igor.sevalyanov]

Это то почему не верно?
$\ x\geqslant\pi n + \pi/6>1, a\geqslant 0 \Rightarrow \ x^a\geqslant\pi n + \pi/6 $

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1021117 писал(а):

$\ x\geqslant\pi n + \pi/6>1, a\geqslant 0 \Rightarrow \ x^a\geqslant\pi n + \pi/6 $

Могу лишь сказать, что это оригинально. Может, кто другой ещё чего сможет посоветовать, а я -- пас.

[igor.sevalyanov]

Может быть Вы можете подсказать где можно почитать о том как делать эти оценки правильно? Или может быть знаете другие темы где разбиралось похожие интегралы?

[igor.sevalyanov]

Преподаватель посоветовал все же использовать оценку $\pi n \leqslant x^a \leqslant \pi(n+1)$, но я никак не могу понять, как ее пременить

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1021167 писал(а):

но я никак не могу понять, как ее пременить

И я тоже не могу понять: оценка должна быть несколько другой.

Правильно в этой рекомендации только одно: вырезать отдельно окрестности корней действительно не нужно, достаточно просто оценивать интеграл по каждому полупериоду. Но не по тому, который подразумевался этой оценкой.

[Padawan]

Можно прямо вычислить в лоб:

$$\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{dx}{1+k\sin^2 x}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}2\arctg\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{3}}\approx \frac{\pi}{\sqrt{k}}$$

при $k\to\+\infty$

Отсюда, оценивая знаменатель исходного интеграла как $1+(\pi n-\pi/6)^a\sin^2 x\leq 1+x^a\sin^2 x\leq1+(\pi n+\pi/6)^a\sin^2 x$ в промежутке $x\in [\pi n-\pi/6,\pi n+\pi/6]$, получаем, что при $a>2$ он сходится, при $a\leq 2$ расходится.

[ewert]

Слишком сложно: достаточно двусторонне оценить интеграл по каждому полупериоду через $\int\limits_{\pi k-\frac{\pi}2}^{\pi k+\frac{\pi}2}\frac{dx}{1+\beta\cdot k^{\alpha}(x-\pi k)^2}$.

[Padawan]

Лихо Вы от синуса избавились. Это требует пояснений.

А, понял, типа $\frac{2}{\pi} x\leq\sin x\leq x$ при $x\in[0,\pi/2]$.