Сходимость интеграла

[igor.sevalyanov]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, решить задачу
Найти все значения параметра a, при которых сходится интеграл $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x}$
Я решил воспользоваться тем, что
$\lim\limits_{B\to\infty}^{} \int\limits_{0}^{B} < \infty \Longleftrightarrow \lim\limits_{k\to\infty}^{}\int\limits_{0}^{\pi k} < \infty$
Затем видимо нужно рассмотреть сумму интегралов $\sum\limits_{}^{} \int\limits_{\pi n}^{\pi (n+1)} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x} $

А вот дальше я не очень понимаю, что делать

[Oleg Zubelevich]

выделите ряд из интегралов по окрестностям $\pi n$ в отдельное производство

[igor.sevalyanov]

Можно, пожалуйста, немного подробнее. Что значит выделить в отдельное производство?

[ewert]

Имелось в виду, что сумма интегралов по промежуткам, на которых $\sin^2x\geqslant\frac12$ (например, $\frac12$), двусторонне оценивается соответствующим рядом, и с его сходимостью или нет всё ясно. Проблему представляет цепочка промежутков, по которым $\sin^2x\leqslant\frac12$ и, соответственно, подынтегральная функция к нулю не стремится. Ну так выпишите интегралы по этим промежуткам явно и посмотрите, как они ведут себя в зависимости от номера корня синуса.

[igor.sevalyanov]

Так и не смог понять, что особого в точке $\sin x = 1/2$
Можно оценить $\pi n \leqslant x^a \leqslant \pi(n+1)$ Но что это даст?

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1020865 писал(а):

Так и не смог понять, что особого в точке $\sin x = 1/2$

В этой конкретно -- ничего; я же сказал, что "например". А вот в нулёвом синусе -- много чего.

Oleg Zubelevich правильную рекомендацию дал (пусть может и не совсем внятно). Прислушайтесь.

[igor.sevalyanov]

1) Разбиваю на $\sin^2x\geqslant\frac12$ и $\sin^2x\leqslant\frac12$$ \int\limits_{\pi n}^{\pi (n+1)} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x}= \int\limits_{\pi n}^{\pi n+\pi/6} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x}+\int\limits_{\pi n+\pi/6}^{\pi n+5\pi/6} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x} +\int\limits_{\pi n+5\pi/6}^{\pi (n+1)} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x} $
Оценка $\int\limits_{\pi n+\pi/6}^{\pi n+5\pi/6} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x} \leqslant \int\limits_{\pi n+\pi/6}^{\pi n+5\pi/6} \frac{dx}{1+\pi n 1/2} $

Такой должен быть ход решения?

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1020910 писал(а):

Оценка $\int\limits_{\pi n+\pi/6}^{\pi n+5\pi/6} \frac{dx}{1+x^a \sin^2x} \leqslant \int\limits_{\pi n+\pi/6}^{\pi n+5\pi/6} \frac{dx}{1+\pi n 1/2} $

со всех точек зрения какая-то странная.

А ход решения должен быть -- да, таков.

[igor.sevalyanov]

Что в этой оценке неверного? $\sin^2x\geqslant\frac12, x^a\geqslant\pi n \Rightarrow $ {1+x^a \sin^2x}$\geqslant ${1+\pi n 1/2} $
И тогда $\frac{1}{1+x^a \sin^2x} \leqslant \frac{1}{1+\pi n 1/2} $
Как исследовать на сходимость интеграл в котором даже нет $x$?

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1021065 писал(а):

Что в этой оценке неверного? $\sin^2x\geqslant\frac12 $

Это не соответствует пределам интегрирования

igor.sevalyanov в сообщении #1021065 писал(а):

$\ x^a\geqslant\pi n $

Тоже не соответствует, а если исправить, то будет неточным.

igor.sevalyanov в сообщении #1021065 писал(а):

${1+x^a \sin^2x}\geqslant{1+\pi n 1/2} $

Соответственно, это вообще ничему не соответствует.

igor.sevalyanov в сообщении #1021065 писал(а):

Как исследовать на сходимость интеграл в котором даже нет $x$?

Начнём вот с чего: определённый интеграл от константы брать умеете?

[igor.sevalyanov]

Цитата:

Начнём вот с чего: определённый интеграл от константы брать умеете?

Умею

Цитата:

Это не соответствует пределам интегрирования

Не учел квадрат $\sin^2x\geqslant\frac14$

[ewert]

Да. Но это как раз было не очень принципиально. Исправляйте дальше.

[igor.sevalyanov]

$\ x^a\geqslant\pi n + \pi/6$ при $a\geqslant 1$

[ewert]

igor.sevalyanov в сообщении #1021091 писал(а):

$\ x^a\geqslant\pi n + \pi/6$ при $a\geqslant 1$

Это уже немного лучше. Только а) всё равно неверно и б) при чём тут единичка-то?...

[igor.sevalyanov]

$\ x^a\geqslant\pi n + \pi/6$ при $a\geqslant 0$ и $n\geqslant 1$ Вот так, надеюсь, верно