2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2015, 15:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
igor.sevalyanov в сообщении #1021098 писал(а):
$\ x^a\geqslant\pi n + \pi/6$ при $a\geqslant 0$ и $n\geqslant 1$ Вот так, надеюсь, верно

И не надейтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2015, 16:11 


25/05/15
11
Это то почему не верно?
$\ x\geqslant\pi n + \pi/6>1, a\geqslant 0 \Rightarrow \ x^a\geqslant\pi n + \pi/6 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2015, 16:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
igor.sevalyanov в сообщении #1021117 писал(а):
$\ x\geqslant\pi n + \pi/6>1, a\geqslant 0 \Rightarrow \ x^a\geqslant\pi n + \pi/6 $

Могу лишь сказать, что это оригинально. Может, кто другой ещё чего сможет посоветовать, а я -- пас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2015, 16:35 


25/05/15
11
Может быть Вы можете подсказать где можно почитать о том как делать эти оценки правильно? Или может быть знаете другие темы где разбиралось похожие интегралы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2015, 18:22 


25/05/15
11
Преподаватель посоветовал все же использовать оценку $\pi n \leqslant x^a \leqslant \pi(n+1)$, но я никак не могу понять, как ее пременить

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение29.05.2015, 18:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
igor.sevalyanov в сообщении #1021167 писал(а):
но я никак не могу понять, как ее пременить

И я тоже не могу понять: оценка должна быть несколько другой.

Правильно в этой рекомендации только одно: вырезать отдельно окрестности корней действительно не нужно, достаточно просто оценивать интеграл по каждому полупериоду. Но не по тому, который подразумевался этой оценкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение04.06.2015, 17:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Можно прямо вычислить в лоб: $$\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/6} \frac{dx}{1+k\sin^2 x}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}2\arctg\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{3}}\approx \frac{\pi}{\sqrt{k}}$$ при $k\to\+\infty$

Отсюда, оценивая знаменатель исходного интеграла как $1+(\pi n-\pi/6)^a\sin^2 x\leq 1+x^a\sin^2 x\leq1+(\pi n+\pi/6)^a\sin^2 x$ в промежутке $x\in [\pi n-\pi/6,\pi n+\pi/6]$, получаем, что при $a>2$ он сходится, при $a\leq 2$ расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение04.06.2015, 17:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Слишком сложно: достаточно двусторонне оценить интеграл по каждому полупериоду через $\int\limits_{\pi k-\frac{\pi}2}^{\pi k+\frac{\pi}2}\frac{dx}{1+\beta\cdot k^{\alpha}(x-\pi k)^2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла
Сообщение04.06.2015, 17:15 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Лихо Вы от синуса избавились. Это требует пояснений.

А, понял, типа $\frac{2}{\pi} x\leq\sin x\leq x$ при $x\in[0,\pi/2]$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group