Что такое "математическая задача"?

[Sonic86]

Что такое "математическая задача"? Хочу найти более-менее формальный ответ на этот вопрос.
Посмотрел в Вики, в матсловаре и нашел только это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_problem
ИМХО, это слишком расплывчатое описание, хотелось бы точнее.
У меня получилось следующее. Пусть есть некий язык $L$, в нем могут быть описаны некоторое множество $D$ и некий предикат $P$ (который, в свою очередь, тоже может быть выражен множеством). Тогда задачи - это выражения вида
$\text{Найти хотя бы один} \ x\in D:P(x)$
$\text{Найти все} \ x\in D:P(x)$
(такое ощущение, что 1-й вариант можно изъять из определения, но пока у меня в этом нет уверенности)
(с описанием из английской Вики это соотносится так: мои задачи - это их абстрактные задачи)
Примеры:
1) найти некий интеграл, значение некоторого выражения - понятно.
2) доказать некое утверждение - означает найти вывод утверждения в некоторой указанной системе аксиом. Опровергнуть некое утверждение - означает найти контрпример. Проверить некоторое утверждение - означает доказать или опровергнуть (понятие доказательства формализовано).
3) придумать алгоритм решения такой-то задачи - тоже найти описание хоть какого-нибудь алгоритма решения задачи в виде машины Тьюринга, НАМа и т.п. (понятие алгоритма тоже формализовано).

Можно сразу заметить, что 1-й вариант задачи можно назвать неправильным, если верно $(\forall x\in D)\neg P(x)$.

Правдоподобно ли это или можно придумать контрпример такому определению уже на таком уровне формализованности?

Или это все - мутный поток сознания?

Есть ли другие варианты определения понятия "математическая задача"?

[Nemiroff]

Классифицировать простые конечные группы?

[Sonic86]

Nemiroff в сообщении #1022017 писал(а):

Классифицировать простые конечные группы?

Найти конечные $s,M: (\exists f_1,...,f_s)(\forall G) |G|<\infty\wedge \text{проста}(G) \Rightarrow G\in M \or (\exists k\in\mathbb{N})f_j(k)=G$, где $f_j$ "несложно устроены". ($f_j(\mathbb{N})$ - это семейство групп, типа семейства $f:p\to\mathbb{Z}_p$)
Или не согласны?

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1022013 писал(а):

Что такое "математическая задача"? Хочу найти более-менее формальный ответ на этот вопрос.

Математическая задача - это вопрос, которым один математик может озадачить другого математика.

[Nemiroff]

Ну вот "несложно устроены" меня смущает. Или это тоже предикат?

[mserg]

Мне всегда казалось, что когда пишут "Найти...", то подразумевается, что ответом может быть "Нет решений".
Для варианта №2 (найти все решения) пустое множество решений не является допустимым и означает "Нет решений"

[Sonic86]

Nemiroff в сообщении #1022040 писал(а):

Ну вот "несложно устроены" меня смущает. Или это тоже предикат?

Предикат конечно. Я пока затрудняюсь точнее выразиться. Могу сказать "$f_j$ явно выписаны и очень просты, легко вычислимы и не содержат перебора", но это тоже звучит не сильно удовлетворительно. Но мне кажется, что неясность здесь исходит не от слова "задача", а от слова "классифицировать", поскольку требования типа "классифицировать множество $X$" довольно неопределенно. Например, от балды: "классифицировать натуральные числа", "классифицировать комплекснозначные функции", "классифицировать дифференциальные уравнения" звучит неоднозначно.

Munin в сообщении #1022039 писал(а):

Математическая задача - это вопрос, которым один математик может озадачить другого математика.

Пока не пойдет: придется определять, что такое математик.

mserg в сообщении #1022046 писал(а):

Для варианта №2 (найти все решения) пустое множество решений не является допустимым и означает "Нет решений"

Почему? Мне представляется вполне допустимым.

[arseniiv]

Sonic86 в сообщении #1022182 писал(а):

Пока не пойдет: придется определять, что такое математик.

Но такое определение кажется более онтопным. А под ваше первое, хотя мне оно и нравится, подойдёт вообще любая задача, если только предметная область определена достаточно хорошо, чтобы быть описанной математикой.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #1022013 писал(а):

Что такое "математическая задача"? Хочу найти более-менее формальный ответ на этот вопрос.

Это Ваша любовь к формализму!
Думаю, что это творческий процесс, полностью формально не описываемый!

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1022182 писал(а):

Пока не пойдет: придется определять, что такое математик.

Они не только определены, их уже начали классифицировать: post779879.html#p779879
(Кстати, присутствующий здесь arseniiv отчего-то скромно умолчал о своих заслугах.)

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #1022205 писал(а):

Думаю, что это творческий процесс, полностью формально не описываемый!

Задача — процесс? Решение задачи — сказать можно, но я бы о формальной неописуемости и здесь не зарекался.

Munin в сообщении #1022289 писал(а):

отчего-то скромно умолчал

Может, он и не умолчал, а забыл вовсе. И потом, не везде же себя вставлять!

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1022547 писал(а):

И потом, не везде же себя вставлять!

Поистине слова благородного мужа!

[mserg]

Sonic86 в сообщении #1022182 писал(а):

mserg в сообщении #1022046 писал(а):

Для варианта №2 (найти все решения) пустое множество решений не является допустимым и означает "Нет решений"

Почему? Мне представляется вполне допустимым.

Ну, можно добавить $2+2=5$ в условия такой задачи, не меняя ее. И при этом получится допустимое пустое множество решений. Я в корне не согласен с таким положением дел для задач.

У меня возникал точно такой же вопрос при математическом исследовании вопроса построения ИИ.
Вообще говоря, условия задачи - это некоторое предположение/гипотеза. Поэтому формальная постановка задачи должна бы это формально учитывать. Задачи по умолчанию формулируются для гипотезы, что решение существует. Но, как известно, решения может не существовать. Или еще хуже - решение/"нерешение" не выводимо в рамках используемого языка.

Я не стал все это колупать, т.к. реальные математические (бизнес, инженерные) задачи формулируются не так. Для примера можно рассмотреть класс задач: математическое описание одинаковое, "данные"/"параметры" разные. Кроме, собственно, классически сформулированной задачи, обязательно есть/нужен репозиторий реальных или сгенерированных данных, и ограничения на (компьютерные) ресурсы. Все это смешивается - получается реальная (вполне математическая) задача. Вместо фрустраций по поводу "труднорешаемых задач" поиск, сущностно, ведется в пространстве функций (алгоритмов).

Понятно, что специалисты с инструментом "карандаш и бумага" на практике идут отдыхать.

[m1967lj]

Sonic86 в сообщении #1022013 писал(а):

Пусть есть некий язык $L$, в нем могут быть описаны некоторое множество $D$ и некий предикат $P$ (который, в свою очередь, тоже может быть выражен множеством). Тогда задачи - это выражения вида
$\text{Найти хотя бы один} \ x\in D:P(x)$
$\text{Найти все} \ x\in D:P(x)$

Для варианта №2 не подойдет "решение" сразу?
А именно: обозначим $T$ - множество, выражающее предикат $P(y)$. Тогда "ответ": $T$${\bigcap}$$D$. Всё, искомые объекты "найдены".

[iifat]

m1967lj в сообщении #1045618 писал(а):

обозначим $T$ - множество, выражающее предикат $P(y)$. Тогда "ответ": $T{\bigcap}D$

Как ни смешно, по-моему, подойдёт
Однако, обсуждается несколько, как понимаю, другой вопрос: что есть математическая задача, независимо от способов решения.