2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение18.05.2015, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Oleg Zubelevich, литературу не подскажете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 10:31 
Аватара пользователя


07/10/10
56
Красноярск
g______d в сообщении #1016516 писал(а):
Если функция $w$ не является почти везде конечной, то разбейте интервал на два множества: на первом $w(x)\neq \pm\infty$, на втором $w(x)=\pm\infty$. Что можно сказать про функцию $f$ на втором множестве, если известно, что интеграл $w|f|^2$ сходится?

Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vladb314 в сообщении #1017061 писал(а):
Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!


Ну вот. Поэтому множество, на котором $w(x)$ бесконечна, можно просто проигнорировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 10:49 
Аватара пользователя


07/10/10
56
Красноярск
demolishka в сообщении #1016520 писал(а):
В общем, конструкция получается следующая. Имеется $f \in L_{2,w}$, которую нужно приблизить. Рассмотрим срезки веса $w$: $w_n(x) = \min\{w(x),n\}$. Имеем $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx \to \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx$. Значит, для какого-то номера $N$ выполнено $|\int\limits_{\mathbb{R}} w_N(x)f^2(x)dx - \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx| < \varepsilon$. Теперь рассмотрим $f$ как элемент $L_{2,w_N}$. Так как $w_N(x)$ суммируема на каждом ограниченном подмножестве прямой, то, как уже было сказано выше, $L_{2,w_N}$ - сепарабельно (более того - линейные комбинации индикаторов по ячейкам с рациональными концами являются счетным всюду плотным множеством - независимость от $N$, хоть это и не важно). Значит, найдется $g$ из счетного всюду плотного множества: $|\int\limits_{\mathbb{R}}w_N(x)(f-g)^2(x)dx| < \varepsilon.$ Рассмотрим следующую функцию
$$\varphi(x) = \begin{cases}
 & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;N]\right)  \\
 & 0 \text{, иначе}   
\end{cases}$$
Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?


А при $\mu\{x\in\mathbb{R}|w(x)\neq +\infty\}>0$ получаем вот что.
Если при любом $n\in\mathbb{N}$ счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций
$$\varphi(x) = \begin{cases}
 & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;n]\right)  \\
 & 0 \text{, иначе}   
\end{cases}$$
и интеграл $\int\limits_{\mathbb{R}} w(x)f^2(x)dx$ можно сколь угодно точно приблизить интегралом $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx$, то если счётный скелет пространства $L_{2,w}$ не есть объединение $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \Phi_n$, то я чего-то не понимаю...

-- Вт май 19, 2015 15:52:50 --

g______d в сообщении #1017062 писал(а):
vladb314 в сообщении #1017061 писал(а):
Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!


Ну вот. Поэтому множество, на котором $w(x)$ бесконечна, можно просто проигнорировать.

Согласен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
vladb314 в сообщении #1017065 писал(а):
счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

"Счетный скелет" пространства $L_{2,w_n}$ состоит из функций $\{g_k^{(n)}\}$ и $g$ - одна из них. То есть, $\varphi(x)$ зависит и от $k$ - номера $g$ и от $n$ - номера срезки веса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 13:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
demolishka
Верно ведь, что рассматриваемое взвешенное пространство будет изоморфно (аналогично) взвешенному пространству $l_2$ с некоторым весом? Не было бы проще установить этот изоморфизм и провести доказательство сепарабельности для взвешенного $l_2$?

(Оффтоп)

Не сочтите за перехват темы, я подзабыл эти основы и пытаюсь разбираться почти с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
grizzly, $l^2$ с весом, очевидно, сепарабельно. Но как Вы собираетесь строить в него изоморфизм из $ L_{2,w}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
demolishka
Об этом я не думал :D
Ну да, изоморфизм можно было бы по ортонормированным базисным функциям построить, а на этом этапе уже нужно понимать, что их счётное число. Согласен, очевидной априорной связи между этими пространствами (мне) не видно.
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение21.05.2015, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Вот ещё обсуждение на mathoverflow со ссылками на литературу

http://mathoverflow.net/questions/42310 ... -separable

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение21.05.2015, 14:09 


10/02/11
6786
demolishka в сообщении #1016715 писал(а):
Oleg Zubelevich, литературу не подскажете?

Folland real analysis

 Профиль  
                  
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение31.05.2015, 09:49 
Аватара пользователя


07/10/10
56
Красноярск
demolishka в сообщении #1017126 писал(а):
vladb314 в сообщении #1017065 писал(а):
счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

"Счетный скелет" пространства $L_{2,w_n}$ состоит из функций $\{g_k^{(n)}\}$ и $g$ - одна из них. То есть, $\varphi(x)$ зависит и от $k$ - номера $g$ и от $n$ - номера срезки веса.

Да, я немного не так понял.

demolishka в сообщении #1016520 писал(а):
Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?

Тогда оно будет состоять просто из функций $\varphi_k^{(n)}(x)$, полученных из функций $g_k^{(n)}(x)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group