Сепарабельность гильбертовых пространств

[demolishka]

Oleg Zubelevich, литературу не подскажете?

[vladb314]

g______d в сообщении #1016516 писал(а):

Если функция $w$ не является почти везде конечной, то разбейте интервал на два множества: на первом $w(x)\neq \pm\infty$, на втором $w(x)=\pm\infty$. Что можно сказать про функцию $f$ на втором множестве, если известно, что интеграл $w|f|^2$ сходится?

Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!

[g______d]

vladb314 в сообщении #1017061 писал(а):

Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!

Ну вот. Поэтому множество, на котором $w(x)$ бесконечна, можно просто проигнорировать.

[vladb314]

demolishka в сообщении #1016520 писал(а):

В общем, конструкция получается следующая. Имеется $f \in L_{2,w}$, которую нужно приблизить. Рассмотрим срезки веса $w$: $w_n(x) = \min\{w(x),n\}$. Имеем $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx \to \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx$. Значит, для какого-то номера $N$ выполнено $|\int\limits_{\mathbb{R}} w_N(x)f^2(x)dx - \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx| < \varepsilon$. Теперь рассмотрим $f$ как элемент $L_{2,w_N}$. Так как $w_N(x)$ суммируема на каждом ограниченном подмножестве прямой, то, как уже было сказано выше, $L_{2,w_N}$ - сепарабельно (более того - линейные комбинации индикаторов по ячейкам с рациональными концами являются счетным всюду плотным множеством - независимость от $N$, хоть это и не важно). Значит, найдется $g$ из счетного всюду плотного множества: $|\int\limits_{\mathbb{R}}w_N(x)(f-g)^2(x)dx| < \varepsilon.$ Рассмотрим следующую функцию

$$\varphi(x) = \begin{cases} & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;N]\right) \\ & 0 \text{, иначе} \end{cases}$$

Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?

А при $\mu\{x\in\mathbb{R}|w(x)\neq +\infty\}>0$ получаем вот что.
Если при любом $n\in\mathbb{N}$ счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

$$\varphi(x) = \begin{cases} & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;n]\right) \\ & 0 \text{, иначе} \end{cases}$$

и интеграл $\int\limits_{\mathbb{R}} w(x)f^2(x)dx$ можно сколь угодно точно приблизить интегралом $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx$, то если счётный скелет пространства $L_{2,w}$ не есть объединение $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \Phi_n$, то я чего-то не понимаю...

-- Вт май 19, 2015 15:52:50 --

g______d в сообщении #1017062 писал(а):

vladb314 в сообщении #1017061 писал(а):

Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!

Ну вот. Поэтому множество, на котором $w(x)$ бесконечна, можно просто проигнорировать.

Согласен!

[demolishka]

vladb314 в сообщении #1017065 писал(а):

счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

"Счетный скелет" пространства $L_{2,w_n}$ состоит из функций $\{g_k^{(n)}\}$ и $g$ - одна из них. То есть, $\varphi(x)$ зависит и от $k$ - номера $g$ и от $n$ - номера срезки веса.

[grizzly]

demolishka
Верно ведь, что рассматриваемое взвешенное пространство будет изоморфно (аналогично) взвешенному пространству $l_2$ с некоторым весом? Не было бы проще установить этот изоморфизм и провести доказательство сепарабельности для взвешенного $l_2$?

(Оффтоп)

Не сочтите за перехват темы, я подзабыл эти основы и пытаюсь разбираться почти с нуля.

[demolishka]

grizzly, $l^2$ с весом, очевидно, сепарабельно. Но как Вы собираетесь строить в него изоморфизм из $ L_{2,w}$?

[grizzly]

demolishka
Об этом я не думал
Ну да, изоморфизм можно было бы по ортонормированным базисным функциям построить, а на этом этапе уже нужно понимать, что их счётное число. Согласен, очевидной априорной связи между этими пространствами (мне) не видно.
Спасибо!

[g______d]

Вот ещё обсуждение на mathoverflow со ссылками на литературу

http://mathoverflow.net/questions/42310 ... -separable

[Oleg Zubelevich]

demolishka в сообщении #1016715 писал(а):

Oleg Zubelevich, литературу не подскажете?

Folland real analysis

[vladb314]

demolishka в сообщении #1017126 писал(а):

vladb314 в сообщении #1017065 писал(а):

счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

"Счетный скелет" пространства $L_{2,w_n}$ состоит из функций $\{g_k^{(n)}\}$ и $g$ - одна из них. То есть, $\varphi(x)$ зависит и от $k$ - номера $g$ и от $n$ - номера срезки веса.

Да, я немного не так понял.

demolishka в сообщении #1016520 писал(а):

Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?

Тогда оно будет состоять просто из функций $\varphi_k^{(n)}(x)$, полученных из функций $g_k^{(n)}(x)$.