2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение18.05.2015, 13:03 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich, литературу не подскажете?

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 10:31 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #1016516 писал(а):
Если функция $w$ не является почти везде конечной, то разбейте интервал на два множества: на первом $w(x)\neq \pm\infty$, на втором $w(x)=\pm\infty$. Что можно сказать про функцию $f$ на втором множестве, если известно, что интеграл $w|f|^2$ сходится?

Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 10:37 
Аватара пользователя
vladb314 в сообщении #1017061 писал(а):
Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!


Ну вот. Поэтому множество, на котором $w(x)$ бесконечна, можно просто проигнорировать.

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 10:49 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1016520 писал(а):
В общем, конструкция получается следующая. Имеется $f \in L_{2,w}$, которую нужно приблизить. Рассмотрим срезки веса $w$: $w_n(x) = \min\{w(x),n\}$. Имеем $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx \to \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx$. Значит, для какого-то номера $N$ выполнено $|\int\limits_{\mathbb{R}} w_N(x)f^2(x)dx - \int\limits_{\mathbb{R}}w(x)f^2(x)dx| < \varepsilon$. Теперь рассмотрим $f$ как элемент $L_{2,w_N}$. Так как $w_N(x)$ суммируема на каждом ограниченном подмножестве прямой, то, как уже было сказано выше, $L_{2,w_N}$ - сепарабельно (более того - линейные комбинации индикаторов по ячейкам с рациональными концами являются счетным всюду плотным множеством - независимость от $N$, хоть это и не важно). Значит, найдется $g$ из счетного всюду плотного множества: $|\int\limits_{\mathbb{R}}w_N(x)(f-g)^2(x)dx| < \varepsilon.$ Рассмотрим следующую функцию
$$\varphi(x) = \begin{cases}
 & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;N]\right)  \\
 & 0 \text{, иначе}   
\end{cases}$$
Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?


А при $\mu\{x\in\mathbb{R}|w(x)\neq +\infty\}>0$ получаем вот что.
Если при любом $n\in\mathbb{N}$ счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций
$$\varphi(x) = \begin{cases}
 & g(x) \text{, если } x \in w^{-1}\left([0;n]\right)  \\
 & 0 \text{, иначе}   
\end{cases}$$
и интеграл $\int\limits_{\mathbb{R}} w(x)f^2(x)dx$ можно сколь угодно точно приблизить интегралом $\int\limits_{\mathbb{R}} w_n(x)f^2(x)dx$, то если счётный скелет пространства $L_{2,w}$ не есть объединение $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \Phi_n$, то я чего-то не понимаю...

-- Вт май 19, 2015 15:52:50 --

g______d в сообщении #1017062 писал(а):
vladb314 в сообщении #1017061 писал(а):
Я так думаю, что она равна нулю, так как в противном случае интеграл от $w|f|^2$ расходится. Получается, если $w(x)$ почти всюду бесконечна, то пространство $L_{2,w}$ состоит только из функций, почти всюду равных 0, т.е. всего из одного элемента!


Ну вот. Поэтому множество, на котором $w(x)$ бесконечна, можно просто проигнорировать.

Согласен!

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 12:41 
Аватара пользователя
vladb314 в сообщении #1017065 писал(а):
счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

"Счетный скелет" пространства $L_{2,w_n}$ состоит из функций $\{g_k^{(n)}\}$ и $g$ - одна из них. То есть, $\varphi(x)$ зависит и от $k$ - номера $g$ и от $n$ - номера срезки веса.

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 13:16 
Аватара пользователя
demolishka
Верно ведь, что рассматриваемое взвешенное пространство будет изоморфно (аналогично) взвешенному пространству $l_2$ с некоторым весом? Не было бы проще установить этот изоморфизм и провести доказательство сепарабельности для взвешенного $l_2$?

(Оффтоп)

Не сочтите за перехват темы, я подзабыл эти основы и пытаюсь разбираться почти с нуля.

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 15:57 
Аватара пользователя
grizzly, $l^2$ с весом, очевидно, сепарабельно. Но как Вы собираетесь строить в него изоморфизм из $ L_{2,w}$?

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение19.05.2015, 16:14 
Аватара пользователя
demolishka
Об этом я не думал :D
Ну да, изоморфизм можно было бы по ортонормированным базисным функциям построить, а на этом этапе уже нужно понимать, что их счётное число. Согласен, очевидной априорной связи между этими пространствами (мне) не видно.
Спасибо!

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение21.05.2015, 12:10 
Аватара пользователя
Вот ещё обсуждение на mathoverflow со ссылками на литературу

http://mathoverflow.net/questions/42310 ... -separable

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение21.05.2015, 14:09 
demolishka в сообщении #1016715 писал(а):
Oleg Zubelevich, литературу не подскажете?

Folland real analysis

 
 
 
 Re: Сепарабельность гильбертовых пространств
Сообщение31.05.2015, 09:49 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1017126 писал(а):
vladb314 в сообщении #1017065 писал(а):
счётный скелет пространства $L_{2,w_n}$ состоит из множества $\Phi_n$ функций

"Счетный скелет" пространства $L_{2,w_n}$ состоит из функций $\{g_k^{(n)}\}$ и $g$ - одна из них. То есть, $\varphi(x)$ зависит и от $k$ - номера $g$ и от $n$ - номера срезки веса.

Да, я немного не так понял.

demolishka в сообщении #1016520 писал(а):
Тогда $\|\varphi-f\|_{L_{2,w}} < 2 \varepsilon$. Теперь вопрос к vladb314. Как будет выглядеть счетное всюду плотное множество для $L_{2,w}$?

Тогда оно будет состоять просто из функций $\varphi_k^{(n)}(x)$, полученных из функций $g_k^{(n)}(x)$.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group