О связи школьной геометрии и аналитической геометрии

[Munin]

olenellus в сообщении #1021381 писал(а):

От себя ещё добавлю квадратичные кривые и поверхности, аффинная геометрия.

Вот это как раз чистый линал: квадратичные формы, пространства без скалярного произведения.

А вот полярные, сферические и цилиндрические координаты (кажется, не в каждом курсе есть) - это экскурс в сторону матана/дифгема, замены переменных. Впрочем, очень предварительный.

Квадратичные кривые и поверхности можно было бы назвать экскурсом в алгебраическую геометрию, если бы они рассматривались хоть чуть-чуть более общо. Ну хотя бы, чтобы решалась задача пересечения двух квадрик.

olenellus в сообщении #1021381 писал(а):

Но лично у меня от аналитической геометрии сложилось впечатление, действительно, не как об отдельно стоящей науке, а как о сборнике приложений линейной алгебры и других трюках.

А чем плох взгляд на неё как на преподавательскую науку - сборник образных подготовительных упражнений для перехода к линейной алгебре и векторному анализу? (Кстати, в этом смысле - может быть, стоило бы добавить в неё и начальные представления о внешних формах...)

grizzly в сообщении #1021436 писал(а):

А ответьте мне, пожалуйста, на такой вопрос. Вот есть произвольный треугольник $ABC$ и его копия, полученная сдвигом -- $A_1B_1C_1$. Я всегда был склонен считать, что треугольники $ABC$ и $B_1A_1C_1$ равны. Я ошибался?

Это интересный вопрос преподавания: в обозначении треугольника можно полагать вершины либо множеством, либо упорядоченной последовательностью.

1. В первом случае - вы правы. Но этот подход плох тем, что утверждение "такой-то треугольник равен такому-то треугольнику" ещё не является математически однозначным, биекцией, оно полагается на то, что ученик сам сопоставит вершины вершинам (и вообще каждую вершину каждой). Хотя можно либо оставить этот подход как начальный этап (потом перейдя ко второму), либо в нужных случаях уточнять: "такой-то треугольник равен такому-то треугольнику, при сопоставлении вершин $A\leftrightarrow A_1,B\leftrightarrow B_1,C\leftrightarrow C_1$".
2. Во втором случае - вы неправы. Этот подход математически более удобен (избегу слова "безупречен"). Зато может быть сложен для учеников: говоря о треугольнике, нельзя спокойно перепутывать порядок вершин, да и не всякий учебник теперь можно читать. Впрочем, с другой стороны, вырабатывает хорошую привычку. Может быть, его можно рекомендовать для сильных школьников.

Аналогично, конечно, требуется относиться к обозначениям отрезков, углов и прочего.

grizzly в сообщении #1021436 писал(а):

А когда я пытаюсь объяснять это школьнику, то сразу начинаю предпочитать неправильное доказательство.

Попробуйте раскрасить три вершины треугольника в три разных цвета, для наглядности. (И/или использовать пояснение "перевернём треугольник другой стороной".) Суть-то не в том, как записать доказательство - это как раз вопрос формализма и нотации - а в том, каково содержание доказательства.

[grizzly]

Munin в сообщении #1021465 писал(а):

Может быть, его можно рекомендовать для сильных школьников.

Мне весь Ваш ответ понятен и здесь просто нет места для возражений. Я выделил цитату выше как раз для того, чтобы подчеркнуть своё отношение к методологии преподавания. Оно заключается в следующем: нельзя неподготовленного ученика тупо ставить перед фактом, который противоречит его здравому смыслу. Если он видит 2 совершенно одинаковых треугольника и считает, что эти треугольники останутся равны, "даже если собачью лапу назвать хвостом", то этот кризис нельзя разрушать насильственными мерами.

И мой вывод: нужны разные методики для сильных и средних учеников. Сильный способен такие "кризисы" преодолевать самостоятельно или с небольшой подсказки, а со средним и слабым нужно время и терпение.

[Munin]

Что-то типа такого рисунка:



-- 30.05.2015 11:20:45 --

grizzly в сообщении #1021467 писал(а):

Оно заключается в следующем: нельзя неподготовленного ученика тупо ставить перед фактом, который противоречит его здравому смыслу. Если он видит 2 совершенно одинаковых треугольника и считает, что эти треугольники останутся равны, "даже если собачью лапу назвать хвостом", то этот кризис нельзя разрушать насильственными мерами.

Тут надо попробовать явно указать биекцию. Нарисовать стрелочки типа "эта вершина переходит в эту" и так далее.

Думаю, это фундаментальный математический факт, который надо довести до учеников в явном виде: конгруэнции без биекции не бывает, она всегда так или иначе подразумевается. (Более абстрактные отношения эквивалентности нарушают это правило, но к ним программа подойдёт позднее.)

Тогда можно будет перейти к фактам типа $\triangle ABC\ne \triangle B_1A_1C_1,$ в том смысле, что биекция здесь явно указана, и именно данная биекция не удовлетворяет никаким признакам равенства треугольников (и можно вообще явно убедиться, что она меняет длины сторон и величины углов).

-- 30.05.2015 11:25:03 --

grizzly в сообщении #1021467 писал(а):

И мой вывод: нужны разные методики для сильных и средних учеников.

Это безусловно так. И об этом очень многие вояки забывают :-)

[grizzly]

Munin в сообщении #1021470 писал(а):

Это безусловно так. И об этом очень многие вояки забывают :-)

Ну вот я хотел в основном об этом; и думал, что выбрал подходящий пример для демонстрации. Но нет, признаю что пример был не особенно подходящим -- да, нужна биекция, да во всех (нормальных) школьных учебниках наверняка звучит слово "соответствующие" (а не "конгруэнтность", как в Вики -- чур меня, я к этому не призываю :)

arseniiv
Сорри за беспокойство, разобрались :)

[missa1]

Елки-палки, думал, такую глупость объявил, не имея никаких целостных представлений, а разрослось уже на 4 страницы.

[Munin]

missa1
Да вы тут ни при чём, тут другие спорщики постарались :-)

Попробуйте ещё раз сформулировать, в чём ваши вопросы и тема обсуждения, за вычетом того, на что вам ответили. А то теперь это трудно вспомнить :-)

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1021436 писал(а):

А ответьте мне, пожалуйста, на такой вопрос. Вот есть произвольный треугольник $ABC$ и его копия, полученная сдвигом -- $A_1B_1C_1$. Я всегда был склонен считать, что треугольники $ABC$ и $B_1A_1C_1$ равны. Я ошибался? Если нет, то после таких правильных доказательств даже у меня в голове мутит. А когда я пытаюсь объяснять это школьнику, то сразу начинаю предпочитать неправильное доказательство.

Если писать в том неправильном употреблении слова, которое я тут делал, то равны (т. е. конгруэнтны изометричны по-нормальному), но в точном смысле слова не равны, если мы сдвигали, конечно, не на ноль.

Тут дело просто в строгости определений. Если они недостаточно строгие, то правильное доказательство может выглядеть совершенно мистическим, но это не значит, что вина не в определениях.

grizzly в сообщении #1021467 писал(а):

Если он видит 2 совершенно одинаковых треугольника и считает, что эти треугольники останутся равны, "даже если собачью лапу назвать хвостом", то этот кризис нельзя разрушать насильственными мерами.

Вот я как раз считаю, что надо это делать хотя бы на примерах. Согласен, что краткое доказательство надо будет украшать, если до этого база не была построена каким-то другим способом.

Munin в сообщении #1021465 писал(а):

Это интересный вопрос преподавания: в обозначении треугольника можно полагать вершины либо множеством, либо упорядоченной последовательностью.
<…>
Аналогично, конечно, требуется относиться к обозначениям отрезков, углов и прочего.

Тут есть довольно неплохой компромисс. Никто не мешает считать многоугольники множествами не только вершин, а всех точек (только рёбер или ещё и внутренних, не важно), но при этом в, например, признаках равенства треугольников говорить о функции $\triangle$, сопоставляющей набору вершин треугольник. В общем случае порядок аргументов важен, и при этом мы не вводим лишнюю сущность «треугольник с упорядоченными вершинами». На отрезки и углы тоже распространяется. В сущности, все эти обозначения $\triangle,\angle,[\ldots],(\ldots)$ как раз легко и понимаются как просто записи применения таких функций.

Munin в сообщении #1021470 писал(а):

(Более абстрактные отношения эквивалентности нарушают это правило, но к ним программа подойдёт позднее.)

Как так? Есть преобразования $f\colon A\to A$, совместимые с отношением эквивалентности $\sim$ — такие что $a\sim b\Rightarrow f(a)\sim f(b)$; тождественное отображение и композиция совместимых совместимы, так что среди биекций $A$ получается подгруппа всех совместимых с $\sim$ биекций, её-то и выбираем.

grizzly в сообщении #1021483 писал(а):

Сорри за беспокойство, разобрались :)

Да чего там.

grizzly в сообщении #1021483 писал(а):

(а не "конгруэнтность", как в Вики -- чур меня, я к этому не призываю :)

Кстати, можно вместо конгруэнтны изометричны и равны говорить, например, равны и тождественно равны. Пускай то, что реже там встречается, будет и длиннее!

[Munin]

arseniiv в сообщении #1021561 писал(а):

В общем случае порядок аргументов важен

Сумеете объяснить это произвольно взятому семикласснику? (Не занимающемуся программированием!)

arseniiv в сообщении #1021561 писал(а):

В сущности, все эти обозначения $\triangle,\angle,[\ldots],(\ldots)$ как раз легко и понимаются как просто записи применения таких функций.

Отношений a la Prolog, тогда уж...

arseniiv в сообщении #1021561 писал(а):

Как так?

Я же сказал, отношение эквивалентности, а не тождественности. Возьмите, например, отношение, по которому все множества (в некотором выбранном классе) эквивалентны друг другу и пустому. А теперь стройте биекции.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1021581 писал(а):

Сумеете объяснить это произвольно взятому семикласснику?

Даже пытаться не буду.

Munin в сообщении #1021581 писал(а):

Отношений a la Prolog, тогда уж...

Почему? $\triangle ABC \equiv \triangle(A,B,C)$, а под последним-то терм $\{ \lambda A+\mu B+\nu C : \lambda+\mu+\nu = 1, \lambda > 0, \mu > 0, \nu > 0 \}$ понимается (подопытным школьникам, конечно, этого знать не обязательно, и соглашение о «сумме» точек тоже).

Munin в сообщении #1021581 писал(а):

Я же сказал, отношение эквивалентности, а не тождественности. Возьмите, например, отношение, по которому все множества (в некотором выбранном классе) эквивалентны друг другу и пустому. А теперь стройте биекции.

Я так и понял: эквивалентности. Так, ваше отношение. Пускай выбранный класс — $\mathcal A$, $\varnothing\subset\mathcal A$, а вообще рассматривается класс $\mathcal B$ (в принципе, ничто не мешает ему быть классом всех множеств, просто ответом будет тоже собственный класс). Теперь выберем любые биекции $f\colon\mathcal A\to\mathcal A$ и $g\colon\mathcal B\setminus\mathcal A\to\mathcal B\setminus\mathcal A$ и возьмём $f\cup g\colon\mathcal B\to\mathcal B$, которая тоже биекция. Вообще, группа совместимых с эквивалентностью $R\subset A^2$ преобразований — это прямое произведение $\prod_{C\in A/R} S(C)$ групп преобразований каждого класса эквивалентности.

Я, вероятно, не так понял вопрос.

-- Сб май 30, 2015 20:10:08 --

А то под отношением тождественности понял $=$ или его сужение, так с ним только группа из тождественной функции и совместима. (А с другим граничным случаем «всеэквивалентности» $A^2$, соответственно, совместима любая биекция.)

[Munin]

Треугольник у вас получился неупорядоченный. А под биекцией я подразумевал биекцию между объектами, объявляемыми эквивалентными.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1021627 писал(а):

А под биекцией я подразумевал биекцию между объектами, объявляемыми эквивалентными.

А, это… но то, что между вершинами изометричных треугольников можно проделать изометрию, это всё-таки уже следствие, хотя её и получается в результате надо всего лишь на эти вершины сузить. Я подумал, речь о биекции между множествами объектов. Тогда, согласен, биекции может и не быть, потому что вдруг это вообще не множества.

Munin в сообщении #1021627 писал(а):

Треугольник у вас получился неупорядоченный.

Так и задумано.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1021642 писал(а):

но то, что между вершинами изометричных треугольников можно проделать изометрию, это всё-таки уже следствие

Не между вершинами, а между самими треугольниками. И не просто можно, а подразумевается вполне конкретная, например, в указанном вами доказательстве теоремы - нельзя заменить её на любую другую возможную.

[Pulseofmalstrem]

Не знаю, будет кому-то интересно мое мнение, как новоиспеченного выпускника или нет, но, лично мне кажется, что аналитическая геометрия полезна, но только в старших классах. В процессе моего ознакомления с геометрией имели место перекосы, к примеру, к концу 10 - началу 11 класса - я владел аналитической геометрий, но практически не владел классикой, причем с течением времени разрыв усиливался (так как школьные уроки я почти не воспринимал в силу лени/отсутствия живого интереса к ним, и занимался самообразованием по учебникам): я овладел большим пластом методов аналитической геометрии, но при этом с трудом мог построить сечение традиционным способом, потом удалось ликвидировать разрыв и сейчас я научился решать задачи и так, и так.
И вот сейчас я действительно чувствую комфорт при решении всевозможных задач, так как я могу выбрать наиболее оптимальный путь решения конкретной задачи, что сильно упрощает жизнь. В дополнение могу сказать, что аналитическая геометрии значительно упрощает решение многих физических задач (ранее уже упоминалось), исходя из этого я бы сказал, что ангем стоит преподавать, начиная со старших классов, параллельно с традиционной стереометрией, так как тогда у школьников появится возможность гибким образом решать задачи. Потому как мои одноклассники после краткой вводной в ангем просто перепугались и не оценили ее возможностей, в итоге методами аналитической геометрии не пользуются ни на геометрии, ни в физике - вообще нигде и никогда (испытывая жуткое предубеждение), вот это мне кажется не очень хорошо.

[Kras]

Pulseofmalstrem в сообщении #1022881 писал(а):

я овладел большим пластом методов аналитической геометрии

А можно подробнее? Интересно же.

[Pulseofmalstrem]

Kras
Ну самостоятельно мне удалось изучить векторную алгебру плотно (3 вида произведения, линейна зависимость\независимость + по мелочам разные частности, от себя скажу что наиболее активно в физике мне пришлось пользоваться векторным и скалярным произведением (векторное очень удобно в задачах на движение зарядов в магнитных и электрических полях, скалярное вообще везде, но есть и в обычном школьном курсе + на физике углубленной всегда расскажут, как правильно считать работу=)
Потом уравнения разных фигур, большое внимание лично я уделил уравнению плоскости и прямой (понял как его можно составлять в разных ситуациях, и теперь довольно легко практически во всех встречающихся случаях), шары, цилиндры и эти знания нашли удобное применение в решении некоторых задач (хотя у рамках ЕГЭ в 95% случаев хватает одного уравнения плоскости).
Касался и сдвигов, вращений систем координат, но так как нигде в задах не сталкивался с необходимостью -> сейчас уже знаю это на уровне общего понятия, то есть если остро понадобится смогу вывести, но не от зубов не отскакивает. За этим в область аффинных и прочих преобразований я не полез, так как не вижу практической нужды пока что. Потом немного коснулся теории кривых (из праздного любопытства) и научился строить главный октаэдр кривой, считать длину и просто получил обзорное понимание данного вопроса.
Но по ощущением могу сказать, что все что я в аналитической геометрии я изучил, мне удалось прочувствовать. Знаете просто в один момент возникает такое понимание, и ты уже спокойно применяешь все эти штуки. Тут вопрос не в числе заученных формул, а скорее в какой-то внутренней красоте предмета, мне довольно сложно объяснить, но это связано с эмоциональным воприянием данного примераю Просто в один момент наступает ясность и все тут, главное чтобы учебник был хороший и терпение.