О связи школьной геометрии и аналитической геометрии

[arseniiv]

Геометрия чтобы научиться пользоваться логикой, понять аксиоматический подход и доказывать в соответствии с современными математическими стандартами — это хорошо, но вот мне не повезло учиться по учебнику, в котором набор аксиом был, скорее всего, недостаточно сильным и притом не совсем всегда использовался, иногда (видимо, намного чаще в начале, а потом было выведено много теорем, и аксиомы отошли на фон) заменяясь hand-waving. И, вроде, это нередкое (с лишней нестрогостью) явление. В результате самостоятельные доказательства в то время, когда аксиомы используются нерегулярно, может получиться адом — как угадать, где срезать? А если не угадывать, можно никогда не закончить вывод.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #1021238 писал(а):

Геометрия чтобы научиться пользоваться логикой, понять аксиоматический подход и доказывать в соответствии с современными математическими стандартами — это хорошо, но вот мне не повезло учиться по учебнику, в котором набор аксиом был, скорее всего, недостаточно сильным и притом не совсем всегда использовался, иногда (видимо, намного чаще в начале, а потом было выведено много теорем, и аксиомы отошли на фон) заменяясь hand-waving.

А других учебников и нет сейчас. Учебник Колмогорова и старые издания Погорелова получше остальных.

[Oleg Zubelevich]

olenellus в сообщении #1021221 писал(а):

Вы слишком драматизируете.

почему? классикой ("по-школьному") доказывается проще, значительно

-- Пт май 29, 2015 21:45:40 --

Kras в сообщении #1021226 писал(а):

Итак:

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x_1})=\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow{a}^2=a^2$
Значит $as \cdot \cos(\alpha)=a^2$. Откуда $\cos(\alpha)=a/s$.
Аналогично можем получить, что $\cos(\beta)=b/s$.

Осталось доказать, что $a=b$, это совсем легко, с этим даже Munin справится. Но на всякий случай:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{x_2}=\overrightarrow{s}$
$\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_1}^2=\overrightarrow{b}^2+2\overrightarrow{b}\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_2}^2$
$\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{x_1}^2=\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{x_2}^2$
и из равенства радиусов получаем $a=b$.

боюсь, что это не доказательство методами аналитической геометрии, а гибрид из клссики и ангеома.

[Lia]

Kras Предупреждение за троллинг, флейм и хамство.

Brukvalub
Munin
Замечание за переход на личности и поддержание флейма.

Флейм удален в Корзину. Копировать сюда для обоснования и подтверждения, что он был, не считаю уместным. Все прекрасно знают, что было, с кем, кому и когда.

[Kras]

Oleg Zubelevich в сообщении #1021267 писал(а):

это не доказательство методами аналитической геометрии

Какими методами? В АГ используется, собственно, метод координат. В координатах ничего делать принципиально не нужно, просто даже из уважения к себе.

[Munin]

arseniiv
Учебников по геометрии, собственно, три штуки: Колмогоров, Погорелов, Атанасян. У вас какой был?

[arseniiv]

Судя по картиночкам гугла, Атанасян. Пока не смотрел глубже.

-- Сб май 30, 2015 01:04:27 --

Но не та, которая с элементами векторной алгебры в пространстве с самого начала. (Такую 1986-го года я сейчас случайно загрузил.)

-- Сб май 30, 2015 01:05:42 --

Тьфу, это не школьный учебник.

[Munin]

Колмогоров > Погорелов > Атанасян по степени убывания "крутости".

Кажется, у нас обучение шло по Атанасяну, но у меня был (и был пролистан) Погорелов...

[arseniiv]

Кстати (может, помните, а то лень ещё и остальные загружать), не знаете, в Погорелове теорема о равности углов при основании равнобедренного треугольника доказывается правильно или через построение бессмысленной биссектрисы? Я убедился, что Атанасян et al., и что теорема доказана неправильно.

[Munin]

Погорелов у меня есть, но вот правильное и неправильное доказательство не отличу :-)

-- 29.05.2015 23:30:28 --

http://rghost.ru/7xhVdy2SH

[arseniiv]

Правильное — это такое: Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BAC$ равны по первому признаку ($\angle C = \angle C$, $AC = BC$, $BC = AC$), какое равенство означает, в частности, $\angle A = \angle B$.

-- Сб май 30, 2015 01:35:46 --

Полистал; в Погорелове доказательство правильное. Ура! (Надеюсь, Колмогоров не разрушает ваш порядок в этом месте.)

[Munin]

Ладно, а что, у теоремы должно быть только одно доказательство?
Приведённое вами красиво, но требует некоторого мышления головой от читателя :-) (Его можно упростить, если неформально сказать: "перевернём треугольник другой стороной"...)

-- 29.05.2015 23:42:23 --

arseniiv в сообщении #1021324 писал(а):

(Надеюсь, Колмогоров не разрушает ваш порядок в этом месте.)

Кстати, Колмогоровых у меня, почему-то, два.
http://rghost.ru/6kLb6hRKp
http://rghost.ru/7bNHKDz2f

[arseniiv]

Неправильное доказательство (основание снова $AB$; и пусть никто не повторяет это у себя дома!): проведём биссектрису $CH$; по первому признаку $\triangle ACH$ равен $\triangle BCH$, откуда углы.

(Вообще, понимаю, правильно писать не равен, а что-то другое, но примем это переобозначением.)

Munin в сообщении #1021326 писал(а):

Ладно, а что, у теоремы должно быть только одно доказательство?

Как видите теперь, неправильное доказательство использует то же, что и правильное, но на один шаг длиннее. Или на два, если доказывать, что биссектриса существует.

А вот если раза три не ткнуть в то, что разные имена могут обозначать одинаковые вещи (и аналогичные штуки как здесь), то само, похоже, такое понимание не придёт, или включится как-то наполовину.

-- Сб май 30, 2015 01:49:22 --

arseniiv в сообщении #1021328 писал(а):

неправильное доказательство использует то же, что и правильное, но на один шаг длиннее

И в нём нет очарования!

-- Сб май 30, 2015 01:50:34 --

Munin в сообщении #1021326 писал(а):

Кстати, Колмогоровых у меня, почему-то, два.
http://rghost.ru/6kLb6hRKp
http://rghost.ru/7bNHKDz2f

Первое для 6-8 классов, второе для 8 only.

-- Сб май 30, 2015 02:06:54 --

Чего-то не нашёл в Колмогорове даже самого утверждения теоремы. Не удивлюсь, если её там нет даже в задачах.

[olenellus]

Oleg Zubelevich в сообщении #1020994 писал(а):

аналитическая геометрия это линейная алгебра в простраствах размерности 1,2,3.

У меня стойкое ощущение deja vu. Где-то здесь когда-то это уже обсуждалось. И там же было отмечено, что аналитическая геометрия это не только линейная алгебра. Там, по крайней мере, есть ещё полярные координаты (и сферические?). От себя ещё добавлю квадратичные кривые и поверхности, аффинная геометрия.

Но лично у меня от аналитической геометрии сложилось впечатление, действительно, не как об отдельно стоящей науке, а как о сборнике приложений линейной алгебры и других трюках.

Oleg Zubelevich в сообщении #1021267 писал(а):

почему? классикой ("по-школьному") доказывается проще, значительно

Смотря, с какой точки стартовать. В "классике" ведь Вы не предполагаете стартовать с самих аксиом.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1021328 писал(а):

неправильное доказательство использует то же, что и правильное, но на один шаг длиннее.

А ответьте мне, пожалуйста, на такой вопрос. Вот есть произвольный треугольник $ABC$ и его копия, полученная сдвигом -- $A_1B_1C_1$. Я всегда был склонен считать, что треугольники $ABC$ и $B_1A_1C_1$ равны. Я ошибался? Если нет, то после таких правильных доказательств даже у меня в голове мутит. А когда я пытаюсь объяснять это школьнику, то сразу начинаю предпочитать неправильное доказательство.