О связи школьной геометрии и аналитической геометрии

[Munin]

missa1 в сообщении #1020998 писал(а):

Вы меня словом "тех" подразумевали?

Да, увы. Потому что в математике не бывает "свободных" векторов, и прочих "скользящих" и "связанных". Они навязываются только в технических учебных заведениях не самого высокого уровня. И потом их ведь не вытряхнешь из головы...

Разумеется, такие понятия и аксиомы математика давать совсем не обязана.

missa1 в сообщении #1020998 писал(а):

Прошу прощения, так мой вопрос как раз в том и был, что я не знаю, как всё можно корректно там определить. И о необходимости совершения этого.

Всё очень банально. Берёте вещественную прямую. (Положим, вы знаете, как её корректно определить, хотя конечно, вряд ли.) И помножаете её на себя 2 или 3 раза. Вот и всё, у вас моментально в руках оказывается аналитическая геометрия, больше ничего строить не надо. Достаточно только ходить по уже построенной конструкции, и как на экскурсии в музее, называть: вот это прямая, это угол...

(Оффтоп)

-- 29.05.2015 12:32:01 --

Kras в сообщении #1021005 писал(а):

Вы сказали некий бред, понятный только вам.

А вот интересно проверить... :-)

Kras в сообщении #1021005 писал(а):

Это ваше выступление, оно просто ничего не даст.

Кстати, вы требование выполнять будете? Или сразу модераторов звать? Предупреждаю сразу: они круче вас.

[missa1]

Munin в сообщении #1021014 писал(а):

Да, увы. Потому что в математике не бывает "свободных" векторов, и прочих "скользящих" и "связанных". Они навязываются только в технических учебных заведениях не самого высокого уровня. И потом их ведь не вытряхнешь из головы...

Во-первых (и это главное). Я попытался подчеркнуть, что НЕ даю в первом посте никаких строгих определний и схем. А как раз спрашиваю, как их построить.
Второе. Неформально выражаясь (по книге Беклемишева из МФТИ), свободный вектор - множество всех векторов одинаковой длины с одинаковым направлением. Нормальное вполне понятие. И я объяснил, что не понимаю сходу, как это сопоставить с обычной геометрией (с понятием отрезка). Я не вполне понимаю, как это ТОЧНО сделать.

Munin в сообщении #1021014 писал(а):

Всё очень банально. Берёте вещественную прямую. (Положим, вы знаете, как её корректно определить, хотя конечно, вряд ли.) И помножаете её на себя 2 или 3 раза. Вот и всё, у вас моментально в руках оказывается аналитическая геометрия, больше ничего строить не надо. Достаточно только ходить по уже построенной конструкции, и как на экскурсии в музее, называть: вот это прямая, это угол...

Спасибо.
Всё-таки, в этом случае остаётся правильно, без лишних слов и понятно объяснить, что это $R^2$, определённое вашим способом, соотносится с обычным геометрическим пространством точек.

С определением действительного числа я знаком. Хотя не понимаю его полностью пока.

[Munin]

missa1 в сообщении #1021020 писал(а):

И я объяснил, что не понимаю сходу, как это сопоставить с обычной геометрией (с понятием отрезка). Я не вполне понимаю, как это ТОЧНО сделать.

А я не вполне понимаю, что именно вам надо сделать.

Есть вектор. Есть отрезок. Это вещи разные. Из вектора можно получить отрезок. Из отрезка можно получить вектор.

[Nemiroff]

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Слух 1. Очень многие говорят вещи наподобие "школьная геометрия в обычном виде никому, кроме учителей и чиновников в образовании, не нужна".

Блог. Статья "геометрия и логика". http://my-tribune.blogspot.ru/2010/11/blog-post_26.html

Цитата:

... геометрия нужна не ради каких-то параллелограммов и признаков подобия треугольников, а ради логических рассуждений...

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Слух 2. Аналитическая геометрия - простая штука. Ну, по крайней мере, в техническом институте.

Аналитическая геометрия --- предмет не очень сложный.

missa1 в сообщении #1020943 писал(а):

Тут я целостно не представляю, как это всё сделать. Можно ли?

Можно. Но зачем?
Ну вот есть Беклемишев --- там всё более или менее на пальцах. А есть Постников. Читали первый том? Вот так школьников обучать не получится.

[missa1]

Упростится ли, если теорию и задачи обычной геометрии доказывать методами АГ, и даст ли этот подход что-то дополнительно хорошее?

Если не всё упростится, то что именно упростится и что нет?

Nemiroff
Постникова не читал. Беклемишева тоже только просматривал. Я работал практически исключительно по лекциям своего института. Векторы, прямая на плоскости, плоскость в пространстве. Поверхностями 2 порядка занимался меньше.

Насчёт "Геометрии и логики" понял. Но если же попытаться упростить и осовременить при сохранении логики, то всё в порядке будет.

[Kras]

missa1 в сообщении #1021089 писал(а):

доказывать методами АГ

Вы о чём? Если имеется в виду метод координат, то многие даже простейшие школьные задачи, переформулированные в координатах выглядят чудовищно и громоздко. Проблема даже не столько в громоздких вычислениях, а в том, что реально научиться чему-либо здесь невозможно. Думаю, это весьма бесполезное и безрадостное занятие.

Если же имеется в виду векторная алгебра, то она не является разделом аналитической геометрии. Хотя она там используется и её включают в учебники.

[Nemiroff]

missa1 в сообщении #1021089 писал(а):

Но если же попытаться упростить и осовременить при сохранении логики, то всё в порядке будет.

Неясна конечная цель.

missa1 в сообщении #1021089 писал(а):

Если не всё упростится, то что именно упростится и что нет?

Метод координат, векторы, движения --- это все очень мощные и универсальные методы. Как и все универсальные методы они решают задачи универсально и абсолютно неинтересно.

[Munin]

missa1 в сообщении #1021089 писал(а):

Упростится ли, если теорию и задачи обычной геометрии доказывать методами АГ, и даст ли этот подход что-то дополнительно хорошее?

Если не всё упростится, то что именно упростится и что нет?

Дело в том, что перед "обычной" и перед аналитической геометрией ставят обычно разные задачи. Если в "обычной" геометрии часто ставится задача что-то доказать, то в аналитической - что-то вычислить. В этом смысле, аналитическая геометрия, конечно, полезней для практики - например, для той же школьной физики.

Упрощаются те задачи, которые связаны с вычислениями. Те, которые связаны с доказательствами, часто не упрощаются, а могут и усложняться.

Замечания Kras можете полностью игнорировать - они абсолютно не по делу.

[Nemiroff]

Ну вот есть Понарин "Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах".
Не очень ангем, но полистайте. Получите представление о разных методах доказательств.

[Brukvalub]

Многие задачи стереометрии (например, задачи из ЕГЭ, задачи на расстояния, углы и т.п.) успешно решаются методами АГ, особенно если Бог наградил усердием, но забыл подарить пространственное воображение.

[Munin]

+1 к стереометрии.
(И даже если наградил, часто задачи по стереометрии классифицируются как "трудные" именно из-за пространственного воображения, а при переводе на алгебраический язык оказывается, что задача была не трудна.)

[Oleg Zubelevich]

Однако, банальную теорему о том что центр вписаной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (и что биссектрисы пересекаются в одной точке), таки доказывать методами аналитической геометрии не стоит. Перетрудиться можно.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1021127 писал(а):

Однако, банальную теорему о том что центр вписаной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (и что биссектрисы пересекаются в одной точке), таки доказывать методами аналитической геометрии не стоит. Перетрудиться можно. :D

А зато, о точке пересечения медиан - наоборот, векторы или координаты - самый лучший инструмент.

[olenellus]

Oleg Zubelevich в сообщении #1021127 писал(а):

Однако, банальную теорему о том что центр вписаной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (и что биссектрисы пересекаются в одной точке), таки доказывать методами аналитической геометрии не стоит. Перетрудиться можно.

Вы слишком драматизируете.

[Kras]

Я тут подумал, а почему бы не доказать теорему? Для доказательства нам нужна векторная алгебра и кое-что по поводу радиуса, проведённого к точке касания.

изображение

Итак:

$\overrightarrow{a}\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x_1})=\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow{a}^2=a^2$
Значит $as \cdot \cos(\alpha)=a^2$. Откуда $\cos(\alpha)=a/s$.
Аналогично можем получить, что $\cos(\beta)=b/s$.

Осталось доказать, что $a=b$, это совсем легко, с этим даже Munin справится. Но на всякий случай:
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{x_2}=\overrightarrow{s}$
$\overrightarrow{a}^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{x_1}+\overrightarrow{x_1}^2=\overrightarrow{b}^2+2\overrightarrow{b}\overrightarrow{x_2}+\overrightarrow{x_2}^2$
$\overrightarrow{a}^2+\overrightarrow{x_1}^2=\overrightarrow{b}^2+\overrightarrow{x_2}^2$
и из равенства радиусов получаем $a=b$.

-- 29.05.2015, 22:40 --

Часть вторая доказательства может напомнить Munin'у теорему Пифагора. И это верная мысль.

В принципе довольно бессмысленно излагать школьную геометрию таким способом. Т.е. максимум всё это можно давать в качестве упражнений, но всё равно будет очень уныло. Но когда все эти теоремы собирают в один 'систематический курс', то это просто кошмар какой-то...