Найти максимум определителя

[Logan27]

Добрый день!
Сама задача: "Найдите максимальное значение определителя матрицы (а) второго (б) третьего порядка, если сумма квадратов всех ее элементов не превосходит 1."
Для второго порядка - все просто. А вот с третьим уже сложнее.
Если решать через функцию Лагранжа, то у нас получается система из 10 уравнений, которую решить в лоб у меня не получается.
$\left\{\begin{matrix} M_{ij}+2\cdot x_{ij}=0 , 1\leq i,j\leq 3 \\ \sum_{i,j=1}^{3}x_{ij}^2=1 \end{matrix}\right$
Подскажите, на что тут нужно обратить внимание, чтобы упростить эту систему?

[venco]

Мне кажется, если вспомнить, чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов, то можно на пальцах найти максимум.

[g______d]

А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

[2old]

У меня как-то так получилось, правильно?

$$ \left\{\begin{matrix} \\\operatorname{Tr}{AA^{*}}=\sum\limits_i\sum\limits_j a^2_{ij}=\sum\limits_k\lambda_k\leq 1\\ \det{AA^{*}}=(\det{A})^2=\prod\limits_{k}\lambda_k \end{matrix}\right $$

Отсюда

$$ (\det{A})^2=\prod\limits_{k}\lambda_k\leq(\sum\limits_k\lambda_k\cdot\frac{1}{3})^3\leq(1\cdot\frac{1}{3})^3 $$

И тогда $\det{A}=\frac{1}{3}^{3/2}$

Покажем, что указанный определитель достигается, например на: $\operatorname{diag}{((\frac{1}{3})^{1/2},(\frac{1}{3})^{1/2},(\frac{1}{3})^{1/2})$

[Евгений Машеров]

g______d в сообщении #1020596 писал(а):

А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

А не собственных?

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1020699 писал(а):

А не собственных?

Сингулярных, т.к. $A^*A$.

[Logan27]

g______d в сообщении #1020596 писал(а):

А ещё можно вспомнить, что сумма квадратов элементов матрицы равна сумме квадратов сингулярных чисел, произведение которых равно модулю определителя.

2old в сообщении #1020618 писал(а):

И тогда $\det{A}=\frac{1}{3}^{3/2}$

Спасибо! Вроде разобрался.

venco в сообщении #1020595 писал(а):

чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов

Я не знаю ответ на этот вопрос, поиском найти не смог. Интересно, что вы имели в виду?

[ИСН]

Если я увеличу столбец в два раза, что случится с определителем?

[ewert]

Logan27 в сообщении #1020708 писал(а):

venco в сообщении #1020595 писал(а):

чем является определитель матрицы по отношению к векторам его столбцов

Я не знаю ответ на этот вопрос, поиском найти не смог. Интересно, что вы имели в виду?

Объём.

[Евгений Машеров]

ewert в сообщении #1020702 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1020699 писал(а):

А не собственных?

Сингулярных, т.к. $A^*A$.

Cумма квадратов элементов матрицы А равна $\operatorname{tr} A^TA$
Если разложение по собственным значениям матрицы А (для простоты - диагнализуемой) имеет вид $A=X^{-1}\Lambda X$, то матрица $A^TA=X^{-1}\Lambda^2X$, собственные значения которой равны квадратам исходной, а их, квадратов с.з. исходной, равна следу этой матрицы, то есть сумме квадратов матрицы А.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #1020713 писал(а):

то матрица $A^TA=X^{-1}\Lambda^2X$

Это только для нормальных матриц, т.е. как раз тогда, когда модули собственных чисел равны сингулярным.

[g______d]

Пример: $\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{pmatrix}$.

[Logan27]

ИСН в сообщении #1020709 писал(а):

Если я увеличу столбец в два раза, что случится с определителем?

ewert в сообщении #1020712 писал(а):

Объём.

Спасибо, я понял.