Сложная планиметрическая задача

[number_one]

Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $5$. Точка $K$ делит диаметр $AD$ в отношении $1: 4$ , считая от точки $D$ . Через точку $K$ проведена хорда $BC$ перпендикулярно диаметру AD . На меньшей дуге AB окружности взята
точка $M$ .
а) Докажите, что $BM\cdot CM<BA^2$.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ACBM$ , если дополнительно известно, что площадь треугольника $BCM$ равна $24$.

У меня такая картинка получилась.



По поводу пункта $a)$ у меня такие соображения. Пусть $OK=KD=0,5\cdot OD=x$. Тогда $OC=2x$, тогда $KC=\sqrt{3}x$, $BC=2\sqrt{3}x$.

Угол $OCK$ равен тридцати градусам, а значит $\angle BOC=120^o$, тогда $\angle CMB=60^o$

Далее через площади треугольников пункта $a)$ раскрутился ($ABC$ оказался равносторонним).

По поводу пункта б). Но как его площадь искать? Даже идей нет

[Brukvalub]

Площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBC$.

(Оффтоп)

и бросьте вы эти заманухи про "сложность" писАть - задача-то тривиальная.

[number_one]

Brukvalub в сообщении #1019395 писал(а):

Площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBC$.

(Оффтоп)

и бросьте вы эти заманухи про "сложность" писАть - задача-то тривиальная.

Спасибо, да уже раскрутил через площади (подкорректировал стартпост), теперь второй пункт не получается(

[NSKuber]

number_one в сообщении #1019392 писал(а):

Пусть $OK=KD=0,5\cdot OD=x$.

Ой ли? Если точка $K$ делит радиус пополам, то диаметр она делит в отношении $1:3$, а это не наш случай. Идея верная, чиселки не те. Да и иксы можно не вводить, радиус-то дан.

[number_one]

Спасибо, что поправили, там с отношениями сторон действительно напутал.
Но и при другом отношении сторон через площадь у меня все получилось доказать, там несложно. А вот с пунктом б) по прежнему идей нет. Можете, пожалуйста, дать подсказку?

[NSKuber]

number_one
Сторону $BC$ треугольника $BCM$ найти несложно. Зная площадь и сторону, можно найти высоту, опущенную из точки $M$, а оттуда уже извлечь всю неизвестную информацию о точке $M$. Как попроще и быстрей затем найти площадь - не знаю, но в лоб точно проблем быть не должно.

[number_one]

Спасибо! Я могу выразить стороную $BC$ через $x$, но найти ее не получается. как это делается7

[Brukvalub]

number_one в сообщении #1019435 писал(а):

Спасибо! Я могу выразить стороную $BC$ через $x$, но найти ее не получается. как это делается7

Теоремой о пересекающихся хордах.

[Skeptic]

number_one в сообщении #1019392 писал(а):

б) Найдите площадь четырёхугольника $ACBM$ , если дополнительно известно, что площадь треугольника $BCM$ равна $24$.

Задание площади треугольника $BCM$ наводит на мысль, что этот треугольник определённой формы. Скорее всего, это - прямоугольный треугольник. Тогда, треугольник $ACM$ тоже прямоугольный, и его площадь, скорее всего, тоже целочисленная.

[grizzly]

(Skeptic)

Вот так бы всегда :)
За решение это, конечно, не прошло бы, но в качестве подсказки в этом разделе -- самое оно. Хотя метод строгого решения, раскрученного по такой подсказке (по сути -- угадывание), понравится не каждому учителю / методисту, я бы счёл его одним из лучших.

[Skeptic]

(Оффтоп)

Пока не решен в числах пункт "а", этого решения не видно. А учителю не обязательно говорить, как решение пришло в голову.