2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 14:59 


23/11/11
230
Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $5$. Точка $K$ делит диаметр $AD$ в отношении $1: 4$ , считая от точки $D$ . Через точку $K$ проведена хорда $BC$ перпендикулярно диаметру AD . На меньшей дуге AB окружности взята
точка $M$ .
а) Докажите, что $BM\cdot CM<BA^2$.
б) Найдите площадь четырёхугольника $ACBM$ , если дополнительно известно, что площадь треугольника $BCM$ равна $24$.

У меня такая картинка получилась.

Изображение

По поводу пункта $a)$ у меня такие соображения. Пусть $OK=KD=0,5\cdot OD=x$. Тогда $OC=2x$, тогда $KC=\sqrt{3}x$, $BC=2\sqrt{3}x$.

Угол $OCK$ равен тридцати градусам, а значит $\angle BOC=120^o$, тогда $\angle CMB=60^o$

Далее через площади треугольников пункта $a)$ раскрутился ($ABC$ оказался равносторонним).

По поводу пункта б). Но как его площадь искать? Даже идей нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBC$. :D

(Оффтоп)

и бросьте вы эти заманухи про "сложность" писАть - задача-то тривиальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 15:19 


23/11/11
230
Brukvalub в сообщении #1019395 писал(а):
Площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $MBC$. :D

(Оффтоп)

и бросьте вы эти заманухи про "сложность" писАть - задача-то тривиальная.

Спасибо, да уже раскрутил через площади (подкорректировал стартпост), теперь второй пункт не получается(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 15:28 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
number_one в сообщении #1019392 писал(а):
Пусть $OK=KD=0,5\cdot OD=x$.

Ой ли? Если точка $K$ делит радиус пополам, то диаметр она делит в отношении $1:3$, а это не наш случай. Идея верная, чиселки не те. Да и иксы можно не вводить, радиус-то дан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 15:38 


23/11/11
230
Спасибо, что поправили, там с отношениями сторон действительно напутал.
Но и при другом отношении сторон через площадь у меня все получилось доказать, там несложно. А вот с пунктом б) по прежнему идей нет. Можете, пожалуйста, дать подсказку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 15:42 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
number_one
Сторону $BC$ треугольника $BCM$ найти несложно. Зная площадь и сторону, можно найти высоту, опущенную из точки $M$, а оттуда уже извлечь всю неизвестную информацию о точке $M$. Как попроще и быстрей затем найти площадь - не знаю, но в лоб точно проблем быть не должно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 16:28 


23/11/11
230
Спасибо! Я могу выразить стороную $BC$ через $x$, но найти ее не получается. как это делается7

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение25.05.2015, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
number_one в сообщении #1019435 писал(а):
Спасибо! Я могу выразить стороную $BC$ через $x$, но найти ее не получается. как это делается7
Теоремой о пересекающихся хордах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение26.05.2015, 17:13 


01/12/11

1047
number_one в сообщении #1019392 писал(а):
б) Найдите площадь четырёхугольника $ACBM$ , если дополнительно известно, что площадь треугольника $BCM$ равна $24$.

Задание площади треугольника $BCM$ наводит на мысль, что этот треугольник определённой формы. Скорее всего, это - прямоугольный треугольник. Тогда, треугольник $ACM$ тоже прямоугольный, и его площадь, скорее всего, тоже целочисленная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение26.05.2015, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Skeptic)

Вот так бы всегда :)
За решение это, конечно, не прошло бы, но в качестве подсказки в этом разделе -- самое оно. Хотя метод строгого решения, раскрученного по такой подсказке (по сути -- угадывание), понравится не каждому учителю / методисту, я бы счёл его одним из лучших.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложная планиметрическая задача
Сообщение27.05.2015, 06:43 


01/12/11

1047

(Оффтоп)

Пока не решен в числах пункт "а", этого решения не видно. А учителю не обязательно говорить, как решение пришло в голову.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group