2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение26.05.2015, 19:19 


10/02/11
6786
pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):
Не имею представления, как измерить простоту доказательства, но не в числе же строк?!

и в числе строк тоже, разумеется

pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):
Эта идея, кроме того, используется и при доказательстве ряда других утверждений такого рода.

Правильно, можно переписывать всякий раз одни и теже рассуждения по разным поводам, а можно сформулировать общую теорему и на нее ссылаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение26.05.2015, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):
Все же не верится, что введение тензорных степеней расслоений и определение связности, как "естественной" операции, удовлетворяющей свойствам 1,2,3,4,5 может быть интуитивно и образно.
Впрочем, может Вы и правы.

Не знаю. Мне тензорные степени (вообще чего угодно) понравились сразу и безоглядно как совершенно естественное математическое обобщение "если можешь сделать что-то один раз, то попробуй сделать это $n$ раз" (не исключая $n=\infty,$ кстати). А уж к чему их приложить... дальше они как язык. Если что-то выражается на их языке, то и пускай. Зачем пытаться не пустить себя к этой возможности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение26.05.2015, 20:54 


20/03/14
12041
 !  pon4ik
Устное замечание за избыточное цитирование.

Оставляйте, пожалуйста, ровно то, что необходимо. Полезно также использование кнопки Изображение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 05:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Oleg Zubelevich в сообщении #1019970 писал(а):
Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.


Ладно, вторая попытка. Имеется взаимно однозначное соответствие между векторными полями и локальными однопараметрическими группами диффеоморфизмов, которое строится так: в одну сторону -- это поток векторного поля, в другую -- траектория точки $x$ даёт кривую, класс эквивалентности которой является вектором в этой точке. Т. е. однопараметрические группы совпадают, если совпадают их генераторы.

Дальше пусть есть два векторных поля $X,Y$, и $g_t$, $h_t$ -- их потоки. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов
$$
g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}.
$$
Это однопараметрическая подгруппа. Её генератор пропорционален коммутатору $[X,Y]$, который равен нулю, поэтому это на самом деле это константа -- тождественный диффеоморфизм. Значит, $g_t$ коммутирует с $h_t$. Если $m,n\in \mathbb Z$, то также $g_{mt}$ коммутирует с $h_{nt}$. Т. к. $t$ произвольно, получаем, что $g_t$ коммутирует с $h_s$, где $\frac{t}{s}\in \mathbb Q$. По непрерывности получаем утверждение.

Я, правда, мог где-то что-то опять пропустить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 12:10 


10/02/11
6786
g______d в сообщении #1020262 писал(а):
Рассмотрим семейство диффеоморфизмов
$$
g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}.
$$
Это однопараметрическая подгруппа.

нет, $ w_{t+s}\ne w_t\circ w_s,\quad w_t=g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}$

-- Ср май 27, 2015 12:15:14 --

более того $\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}w_t\equiv 0$, независимо от того коммутируют $h $ и $g$ или нет.

(Оффтоп)

В книжках, как я помню, там корни из $t$ ставят

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Жаль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дискуссия о единственно верном понимании тензора
Сообщение27.05.2015, 13:18 


19/03/15
291
g______d в сообщении #1019607 писал(а):
Это не определение, потому что не определён (пока) дифференциал скалярного поля.

Не замыслили вы здесь какую-нибудь бомбу? :D Дифференциал скалярного поля ... ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 97 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group