Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.
Ладно, вторая попытка. Имеется взаимно однозначное соответствие между векторными полями и локальными однопараметрическими группами диффеоморфизмов, которое строится так: в одну сторону -- это поток векторного поля, в другую -- траектория точки
даёт кривую, класс эквивалентности которой является вектором в этой точке. Т. е. однопараметрические группы совпадают, если совпадают их генераторы.
Дальше пусть есть два векторных поля
, и
,
-- их потоки. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов
Это однопараметрическая подгруппа. Её генератор пропорционален коммутатору
, который равен нулю, поэтому это на самом деле это константа -- тождественный диффеоморфизм. Значит,
коммутирует с
. Если
, то также
коммутирует с
. Т. к.
произвольно, получаем, что
коммутирует с
, где
. По непрерывности получаем утверждение.
Я, правда, мог где-то что-то опять пропустить.