Дискуссия о единственно верном понимании тензора

[Oleg Zubelevich]

pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):

Не имею представления, как измерить простоту доказательства, но не в числе же строк?!

и в числе строк тоже, разумеется

pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):

Эта идея, кроме того, используется и при доказательстве ряда других утверждений такого рода.

Правильно, можно переписывать всякий раз одни и теже рассуждения по разным поводам, а можно сформулировать общую теорему и на нее ссылаться.

[Munin]

pon4ik в сообщении #1019979 писал(а):

Все же не верится, что введение тензорных степеней расслоений и определение связности, как "естественной" операции, удовлетворяющей свойствам 1,2,3,4,5 может быть интуитивно и образно.
Впрочем, может Вы и правы.

Не знаю. Мне тензорные степени (вообще чего угодно) понравились сразу и безоглядно как совершенно естественное математическое обобщение "если можешь сделать что-то один раз, то попробуй сделать это $n$ раз" (не исключая $n=\infty,$ кстати). А уж к чему их приложить... дальше они как язык. Если что-то выражается на их языке, то и пускай. Зачем пытаться не пустить себя к этой возможности?

[Lia]

pon4ik
Устное замечание за избыточное цитирование.

Оставляйте, пожалуйста, ровно то, что необходимо. Полезно также использование кнопки .

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1019970 писал(а):

Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.

Ладно, вторая попытка. Имеется взаимно однозначное соответствие между векторными полями и локальными однопараметрическими группами диффеоморфизмов, которое строится так: в одну сторону -- это поток векторного поля, в другую -- траектория точки $x$ даёт кривую, класс эквивалентности которой является вектором в этой точке. Т. е. однопараметрические группы совпадают, если совпадают их генераторы.

Дальше пусть есть два векторных поля $X,Y$, и $g_t$, $h_t$ -- их потоки. Рассмотрим семейство диффеоморфизмов

$$ g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}. $$

Это однопараметрическая подгруппа. Её генератор пропорционален коммутатору $[X,Y]$, который равен нулю, поэтому это на самом деле это константа -- тождественный диффеоморфизм. Значит, $g_t$ коммутирует с $h_t$. Если $m,n\in \mathbb Z$, то также $g_{mt}$ коммутирует с $h_{nt}$. Т. к. $t$ произвольно, получаем, что $g_t$ коммутирует с $h_s$, где $\frac{t}{s}\in \mathbb Q$. По непрерывности получаем утверждение.

Я, правда, мог где-то что-то опять пропустить.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #1020262 писал(а):

Рассмотрим семейство диффеоморфизмов

$$ g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}. $$

Это однопараметрическая подгруппа.

нет, $ w_{t+s}\ne w_t\circ w_s,\quad w_t=g_t\circ h_t\circ g_{-t} \circ h_{-t}$

-- Ср май 27, 2015 12:15:14 --

более того $\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}w_t\equiv 0$, независимо от того коммутируют $h $ и $g$ или нет.

(Оффтоп)

В книжках, как я помню, там корни из $t$ ставят

[g______d]

Жаль.

[maximav]

g______d в сообщении #1019607 писал(а):

Это не определение, потому что не определён (пока) дифференциал скалярного поля.

Не замыслили вы здесь какую-нибудь бомбу? Дифференциал скалярного поля ... ?