Поток поля в цилиндрических координатах

[fronnya]

Нужно вычислить поток поля $\vec{a}=\rho \vec{e}_{\rho} +\varphi\vec{e}_{\varphi}-z\vec{e}_z$ через замкнутую поверхность, образованную цилиндром $\rho=1$, пересеченным плоскостями $\varphi=0, \varphi=\pi/2, z=1, z=-1$
По теореме Гаусса имеем

$$\Phi=\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\ (\vec{a}d\vec{S})=\iiint\limits_v \operatorname{div}{\vec{a}}dV$$

$$\operatorname{div}{\vec{a}}=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial\rho^2}{\partial\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\varphi}-\frac{\partial z}{\partial z}\right]=2$$

$$dV=H_1H_2H_3 d\rho d\varphi dz=\rho d\rho d\varphi dz$$

$$\Phi=\iiint\limits_V 2\rho d\rho d\varphi dz=2\int\limits_0^{\pi/2} d\varphi\int\limits_{-1}^1 dz\int\limits_0^1 \rho d\rho=\pi$$

С ответом не сходится, где у меня ошибка?

[svv]

Когда Вы вычисляли дивергенцию, Вы взяли $\rho=1$, но это так только на границе (даже на части границы!) области, а дивергенция вычисляется для произвольной точки области, так как будет потом интегрироваться по всей области, а не по границе.

Подправьте формулу для дивергенции в цилиндрических координатах (производная $\frac{\partial a_z}{\partial z}$ не должна умножаться на множитель $\frac 1 {\rho}$).

[fronnya]

svv в сообщении #1019548 писал(а):

Подправьте формулу для дивергенции в цилиндрических координатах (производная $\frac{\partial a_z}{\partial z}$ не должна умножаться на множитель $\frac 1 {\rho}$).

Я не брал $\rho=1$... А в формуле для дивергенции действителньо очепятка

[svv]

А, ясно. Да, константа $2$ вполне объясняется опечаткой. На самом деле там переменная величина.

[fronnya]

svv в сообщении #1019616 писал(а):

А, ясно. Да, константа $2$ вполне объясняется опечаткой. На самом деле там переменная величина.

Ааа, ну да, константы нет.

$$\operatorname{div} \vec{a}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho^2}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\varphi}-\frac{\partial z}{\partial z}=2+\frac{1}{\rho}$$

[svv]

Теперь сходится с ответом?
Можно найти поток и непосредственно, по определению.

[fronnya]

$$\Phi=2\int\limits_0^{\pi/2} d\varphi\int\limits_{-1}^1 dz\int\limits_0^1 \rho d\rho+\int\limits_0^{\pi/2} d\varphi\int\limits_{-1}^1 dz\int\limits_0^1 d\rho=2\pi$$

-- 25.05.2015, 22:32 --

В ответах поток почему-то равен единице.. У меня тут $2\pi$.

-- 25.05.2015, 22:32 --

Да он в принципе не может равняться единице, ведь по углу-то интегрирование идет..

[svv]

А у меня дивергенция получилась $1+\frac 1 {\rho}$. Ведь ещё вычитается $\frac{\partial z}{\partial z}$.

[fronnya]

svv в сообщении #1019632 писал(а):

А у меня дивергенция получилась $1+\frac 1 {\rho}$. Ведь ещё вычитается $\frac{\partial z}{\partial z}$.

Ой. Точно. Все верно у вас получилось. Тогда поток $3\pi/2$

-- 25.05.2015, 22:40 --

Не могу привыкнуть к этим огромным формулам в криволинейных координатах.

[svv]

А Вы смогли бы для проверки вычислить $\oint\limits_S \mathbf a\cdot d\mathbf S$ непосредственно?

[fronnya]

svv в сообщении #1019639 писал(а):

А Вы смогли бы для проверки вычислить $\oint\limits_S \mathbf a\cdot d\mathbf S$ непосредственно?

Это циркуляция что ли? Я пока не освоился в теме.

-- 25.05.2015, 22:49 --

Ну я знаю, есть несколько способов вычислить поток вектора, один- это по теореме Гаусса, второй- это если можно как-то вычислить нормаль, а третий- я не понимаю, проецирование какое-то.

[svv]

Это Ваш двойной интеграл с колечком (которое я не понимаю, как Вы сделали), в первом сообщении самый первый. Что, мой так непохож?

[fronnya]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1019644 писал(а):

Это Ваш двойной интеграл с колечком (которое я не понимаю, как Вы сделали), в первом сообщении самый первый. Что, мой так непохож?

\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\ 

-- 25.05.2015, 22:53 --

svv в сообщении #1019639 писал(а):

А Вы смогли бы для проверки вычислить $\oint\limits_S \mathbf a\cdot d\mathbf S$ непосредственно?

Я просто не знаю, как тут отыскать нормаль..

[svv]

Поверхность состоит из пяти кусков, на них внешние нормали равны
$\mathbf e_{\rho},\; -\mathbf e_{\varphi},\; +\mathbf e_{\varphi},\; -\mathbf e_{z}, \;+\mathbf e_{z}$
Наверное, понятно, какое выражение к какому куску относится.
Осторожно, базисные векторы $\mathbf e_{\rho}$ и $\mathbf e_{\varphi}$ зависят от координат.

[fronnya]

Интересно, я хоть правильно себе её представляю или нет..

Как бы обрезанный цилиндр