2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 20:31 
Аватара пользователя
Нужно вычислить поток поля $\vec{a}=\rho \vec{e}_{\rho} +\varphi\vec{e}_{\varphi}-z\vec{e}_z$ через замкнутую поверхность, образованную цилиндром $\rho=1$, пересеченным плоскостями $\varphi=0, \varphi=\pi/2, z=1, z=-1$
По теореме Гаусса имеем
$$\Phi=\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\ (\vec{a}d\vec{S})=\iiint\limits_v \operatorname{div}{\vec{a}}dV$$
$$\operatorname{div}{\vec{a}}=\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial\rho^2}{\partial\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\varphi}-\frac{\partial z}{\partial z}\right]=2$$
$$dV=H_1H_2H_3 d\rho d\varphi dz=\rho d\rho d\varphi dz$$
$$\Phi=\iiint\limits_V 2\rho d\rho d\varphi dz=2\int\limits_0^{\pi/2} d\varphi\int\limits_{-1}^1 dz\int\limits_0^1 \rho d\rho=\pi$$
С ответом не сходится, где у меня ошибка?

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 21:16 
Аватара пользователя
Когда Вы вычисляли дивергенцию, Вы взяли $\rho=1$, но это так только на границе (даже на части границы!) области, а дивергенция вычисляется для произвольной точки области, так как будет потом интегрироваться по всей области, а не по границе.

Подправьте формулу для дивергенции в цилиндрических координатах (производная $\frac{\partial a_z}{\partial z}$ не должна умножаться на множитель $\frac 1 {\rho}$).

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:14 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1019548 писал(а):
Подправьте формулу для дивергенции в цилиндрических координатах (производная $\frac{\partial a_z}{\partial z}$ не должна умножаться на множитель $\frac 1 {\rho}$).

Я не брал $\rho=1$... А в формуле для дивергенции действителньо очепятка

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:18 
Аватара пользователя
А, ясно. Да, константа $2$ вполне объясняется опечаткой. На самом деле там переменная величина.

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:27 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1019616 писал(а):
А, ясно. Да, константа $2$ вполне объясняется опечаткой. На самом деле там переменная величина.

Ааа, ну да, константы нет.
$$\operatorname{div} \vec{a}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho^2}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\varphi}-\frac{\partial z}{\partial z}=2+\frac{1}{\rho}$$

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:29 
Аватара пользователя
Теперь сходится с ответом?
Можно найти поток и непосредственно, по определению.

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:31 
Аватара пользователя
$$\Phi=2\int\limits_0^{\pi/2} d\varphi\int\limits_{-1}^1 dz\int\limits_0^1 \rho d\rho+\int\limits_0^{\pi/2} d\varphi\int\limits_{-1}^1 dz\int\limits_0^1  d\rho=2\pi$$

-- 25.05.2015, 22:32 --

В ответах поток почему-то равен единице.. У меня тут $2\pi$.

-- 25.05.2015, 22:32 --

Да он в принципе не может равняться единице, ведь по углу-то интегрирование идет..

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:33 
Аватара пользователя
А у меня дивергенция получилась $1+\frac 1 {\rho}$. Ведь ещё вычитается $\frac{\partial z}{\partial z}$.

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:38 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1019632 писал(а):
А у меня дивергенция получилась $1+\frac 1 {\rho}$. Ведь ещё вычитается $\frac{\partial z}{\partial z}$.

Ой. Точно. Все верно у вас получилось. Тогда поток $3\pi/2$

-- 25.05.2015, 22:40 --

Не могу привыкнуть к этим огромным формулам в криволинейных координатах.

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:43 
Аватара пользователя
А Вы смогли бы для проверки вычислить $\oint\limits_S \mathbf a\cdot d\mathbf S$ непосредственно?

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:44 
Аватара пользователя
svv в сообщении #1019639 писал(а):
А Вы смогли бы для проверки вычислить $\oint\limits_S \mathbf a\cdot d\mathbf S$ непосредственно?

Это циркуляция что ли? Я пока не освоился в теме.

-- 25.05.2015, 22:49 --

Ну я знаю, есть несколько способов вычислить поток вектора, один- это по теореме Гаусса, второй- это если можно как-то вычислить нормаль, а третий- я не понимаю, проецирование какое-то.

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:49 
Аватара пользователя
Это Ваш двойной интеграл с колечком (которое я не понимаю, как Вы сделали), в первом сообщении самый первый. Что, мой так непохож?

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:51 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

svv в сообщении #1019644 писал(а):
Это Ваш двойной интеграл с колечком (которое я не понимаю, как Вы сделали), в первом сообщении самый первый. Что, мой так непохож?

Код:
\iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\


-- 25.05.2015, 22:53 --

svv в сообщении #1019639 писал(а):
А Вы смогли бы для проверки вычислить $\oint\limits_S \mathbf a\cdot d\mathbf S$ непосредственно?

Я просто не знаю, как тут отыскать нормаль..

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:54 
Аватара пользователя
Поверхность состоит из пяти кусков, на них внешние нормали равны
$\mathbf e_{\rho},\; -\mathbf e_{\varphi},\; +\mathbf e_{\varphi},\; -\mathbf e_{z}, \;+\mathbf e_{z}$
Наверное, понятно, какое выражение к какому куску относится.
Осторожно, базисные векторы $\mathbf e_{\rho}$ и $\mathbf e_{\varphi}$ зависят от координат.

 
 
 
 Re: Поток поля в цилиндрических координатах
Сообщение25.05.2015, 23:57 
Аватара пользователя
Интересно, я хоть правильно себе её представляю или нет..
Изображение
Как бы обрезанный цилиндр

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group