2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 09:47 


30/04/15
24
Я не понимаю, почему эти равенства устроены так, а также не понимаю, почему Зорич не объясняет ни причину их устройства, ни почему в одном случае идёт импликация, в другом - логическое "и":

$\forall  x \in A \ (P(x)) = \forall x (x \in A \Rightarrow P(x))$,
$\exists  x \in A \ (P(x)) = \exists x (x \in A \wedge P(x))$.

Подскажите, пожалуйста.

Второй элементарный вопрос: я не понимаю, почему импликация вообще является операцией. Я понимаю, что сложение - операция над двумя числами и что "и" и "или" - операции над высказываниями, но как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
missa1 в сообщении #1019291 писал(а):
как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

А что же такое, по вашему мнению, импликация? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 11:52 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Импликация - это, конечно, функция $B\times B\to B$. Такие функции называют бинарными операциями.
Впрочем есть и унарные операции (напр. отрицание), которые просто функции $B\to B$

Под $B$ мы понимаем $\{0,1\}$ — булево множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:18 


30/04/15
24
Kras в сообщении #1019324 писал(а):
Импликация - это, конечно, функция $B\times B\to B$. Такие функции называют бинарными операциями.
Впрочем есть и унарные операции (напр. отрицание), которые просто функции $B\to B$

Под $B$ мы понимаем $\{0,1\}$ — булево множество.

Да, именно этого я и не могу представить себе. Там же из одного следует другое, т.е. это больше похоже на функцию от того, ИЗ чего нечто следует, а значение функции - как будто то, ЧТО именно является следствием.

Вы написали стандартное описание, но я его не более чем просто вижу. Как это себе представить, чтоб понять, я не нахожу пока способа.

Brukvalub в сообщении #1019311 писал(а):
missa1 в сообщении #1019291 писал(а):
как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

А что же такое, по вашему мнению, импликация? :shock:
Это определение. Связка между двумя утверждениями. Я не воспринимаю это как функцию от этих двух утверждений. "Параллелепипед - это..." - это не значит, что мы взяли такой-то кусок пространства и составили сложили из него параллелепипед. Ведь он там был и без того (или даже не был). Обозначили, что это параллелепипед, и все. Параллелепипед - не операция. Вот примерно так же у меня воспринимается следствие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
missa1 в сообщении #1019334 писал(а):
Вы написали стандартное описание, но я его не более чем просто вижу. Как это себе представить, чтоб понять, я не нахожу пока способа.

Проще всего, наверное, обратить внимание на таблицы истинности, импликация там среди прочих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
missa1
Я, кажется, Вас понял. Когда пишут $a\wedge b$, Вы понимаете, что это просто выражение, которое может быть истинно и ложно, а когда пишут $a\Rightarrow b$, Вам кажется, что это всегда истинно, как теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
missa1 в сообщении #1019334 писал(а):
Это определение. Связка между двумя утверждениями.

Вы у пивного киоска никогда не стояли, иначе бы вы знали все стандартные связки между утверждениями! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:29 


30/04/15
24
AlexDem в сообщении #1019336 писал(а):
missa1 в сообщении #1019334 писал(а):
Вы написали стандартное описание, но я его не более чем просто вижу. Как это себе представить, чтоб понять, я не нахожу пока способа.

Проще всего, наверное, обратить внимание на таблицы истинности, импликация там среди прочих.
Спасибо. Насчёт таблицы истинности. Я гуманитарий, но по математике у меня была единственная четвёрка. Так вот, когда была математическая логика, я так и не понял этой таблицы истинности. Я не понимаю, почему следствие истинно, когда истинно a и b. В чём это заключается: не факт, что второе следует из первого, если они оба верны (это четвёртая строчка таблицы). Как к этой таблице относиться?
svv в сообщении #1019338 писал(а):
missa1
Я, кажется, Вас понял. Когда пишут $a\wedge b$, Вы понимаете, что это просто выражение, которое может быть истинно и ложно, а когда пишут $a\Rightarrow b$, Вам кажется, что это всегда истинно, как теорема.
Нет, мне не всегда кажется, что это теорема. Я не понимаю, почему следствие - это операция над высказываниями. Это не операция. Это "штука". Треугольник - это "штука", а не "действие".

Вопрос: "Верно ли, что из А следует Б?" - точнее, ответ на него является логической функцией и операцией. А само следствие - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:38 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
missa1 в сообщении #1019342 писал(а):
Спасибо. Насчёт таблицы истинности. Я гуманитарий, но по математике у меня была единственная четвёрка. Так вот, когда была математическая логика, я так и не понял этой таблицы истинности. Я не понимаю, почему следствие истинно, когда истинно a и b. В чём это заключается: не факт, что второе следует из первого, если они оба верны (это четвёртая строчка таблицы). Как к этой таблице относиться?

На начальном этапе её не надо понимать, надо просто зазубрить и понять, что импликация - такая же операция, как и остальные. А потом уже можно копаться в философии.

(Я не случайно такой совет даю, нас тоже не учили понимать импликацию как операцию, и привести интуицию в порядок мне помогли именно таблицы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:43 


30/04/15
24
AlexDem в сообщении #1019343 писал(а):
missa1 в сообщении #1019342 писал(а):
Спасибо. Насчёт таблицы истинности. Я гуманитарий, но по математике у меня была единственная четвёрка. Так вот, когда была математическая логика, я так и не понял этой таблицы истинности. Я не понимаю, почему следствие истинно, когда истинно a и b. В чём это заключается: не факт, что второе следует из первого, если они оба верны (это четвёртая строчка таблицы). Как к этой таблице относиться?

На начальном этапе её не надо понимать, надо просто зазубрить и понять, что импликация - такая же операция, как и остальные. А потом уже можно копаться в философии.

(Я не случайно такой совет даю, нас тоже не учили понимать импликацию как операцию, и привести интуицию в порядок мне помогли именно таблицы)
Интересно, потому что такой совет мне никто никогда не давал (это правда, вообще ни с одним материалом). Вы где учились математической логике?

Заодно понял, как объяснить, что я ещё не понимаю. Вот есть функция "А и Б". Как я понимаю это: если А верно и Б верно, то верно, что "А и Б", и можно записать соответствующую строчку в таблицу истинности; если, например, А неверно и Б верно, то неверно, что "А и Б", записываем соответствующую строчку в таблицу истинности.

А со следствием как быть? Вот "А, следовательно Б". Ну и что? Если А верно, но Б в тот же момент неверно, то понятно, что следствие неверно. А вот, например, если Б верно (каким бы ни было при этом А), то это ничего не говорит о том, верно ли, что "А, следовательно Б"! Ведь оно может быть и так, и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:52 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
missa1 в сообщении #1019344 писал(а):
Вы где учились математической логике?

Ну, я, по крайней мере, не гуманитарий :wink:

missa1 в сообщении #1019344 писал(а):
А со следствием как быть?

Точно так же. Если Вам стрелка $a \to b$ глаз колет, напишите вместо неё какой-нибудь символ $a \oslash b$ и будет Вам счастье.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
missa1
Совет: «отвяжите» $a \Rightarrow b$ от смысла логического следования. Понимайте её только так: всякий раз, когда $a$, то и $b$ (может быть, чисто случайно, а, возможно, и нет). Уже будет легче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 13:14 


30/04/15
24
svv в сообщении #1019347 писал(а):
missa1
Совет: «отвяжите» $a \Rightarrow b$ от смысла логического следования. Понимайте её только так: всякий раз, когда $a$, то и $b$ (может быть, чисто случайно, а, возможно, и нет). Уже будет легче.
Хорошо. Но ко мне придёт понимание, как это на самом деле связано с общеупотребляемым понятием "следствие"? И при каких обстоятельствах? Если нужно, я готов изучить полностью какой-нибудь курс логики для этого (например, Верещагина и Шеня), хотя изначально не планировал этого. Но встанут ли тогда на свои места примерно такие вот штуки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 13:18 


10/12/14

345
http://lj.rossia.org /users/tiphareth/
Я даже не знаю что такое причинно-следственные связи в логике. И какое отношение сюда имеет импликация.

Импликация $A\Rightarrow B$ — это то же самое, что $(\neg A) \vee B$. Возможно, если вы дизъюнкцию признали операцией, то так будет проще понять:) Что нам важно? Нам важно, что в таблице истинности выписаны все возможные ситуации, т.е. функция задана табличным способом. Теперь мы имеем все основания считать, к примеру, что $1\Rightarrow 0 = 0$, или $a\Rightarrow a = 1$, или даже $ (\neg a)\Rightarrow a=a$.

Что же касается различных школьных упражнений (неравенства, системы уравнений), где используется знак логического следования, то запись $A\Rightarrow B$ понимается, как "истинно, что $A\Rightarrow B$". Ложь нас не интересует. Или даже более строго "когда $A$ — истина, $B$ — тоже истина". Зависит от контекста.

Например в арифметике $a<b$ и $b<c$, значит $a<c$ (представляем себе числовую ось, где 'меньше' значит левее). То же самое можно записать короче: $(a<b)\wedge (b<c)\Rightarrow (a<c)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации
Сообщение25.05.2015, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
missa1
Такое понимание уже позволяет составить таблицу истинности. Например, один мой знакомый заметил, что на его день рождения (в апреле) всегда необычно холодно для апреля. Т.е., в обозначениях $a$="сегодня 29 апреля", $b$="сегодня на улице собачий холод", он утверждает, что $a \Rightarrow b$. Единственная ситуация, которая это может опровергнуть — это когда $a$, но не $b$ ("смотри, сегодня 29 апреля, а совсем не холодно"). Сравните с таблицей истинности для импликации.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group