Вопросы, связанные, видимо, с непониманием импликации

[missa1]

Я не понимаю, почему эти равенства устроены так, а также не понимаю, почему Зорич не объясняет ни причину их устройства, ни почему в одном случае идёт импликация, в другом - логическое "и":

$\forall x \in A \ (P(x)) = \forall x (x \in A \Rightarrow P(x))$,
$\exists x \in A \ (P(x)) = \exists x (x \in A \wedge P(x))$.

Подскажите, пожалуйста.

Второй элементарный вопрос: я не понимаю, почему импликация вообще является операцией. Я понимаю, что сложение - операция над двумя числами и что "и" и "или" - операции над высказываниями, но как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

[Brukvalub]

missa1 в сообщении #1019291 писал(а):

как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

А что же такое, по вашему мнению, импликация?

[Kras]

Импликация - это, конечно, функция $B\times B\to B$. Такие функции называют бинарными операциями.
Впрочем есть и унарные операции (напр. отрицание), которые просто функции $B\to B$

Под $B$ мы понимаем $\{0,1\}$ — булево множество.

[missa1]

Kras в сообщении #1019324 писал(а):

Импликация - это, конечно, функция $B\times B\to B$. Такие функции называют бинарными операциями.
Впрочем есть и унарные операции (напр. отрицание), которые просто функции $B\to B$

Под $B$ мы понимаем $\{0,1\}$ — булево множество.

Да, именно этого я и не могу представить себе. Там же из одного следует другое, т.е. это больше похоже на функцию от того, ИЗ чего нечто следует, а значение функции - как будто то, ЧТО именно является следствием.

Вы написали стандартное описание, но я его не более чем просто вижу. Как это себе представить, чтоб понять, я не нахожу пока способа.

Brukvalub в сообщении #1019311 писал(а):

missa1 в сообщении #1019291 писал(а):

как принять импликацию за операцию, не представляю себе.

А что же такое, по вашему мнению, импликация?

Это определение. Связка между двумя утверждениями. Я не воспринимаю это как функцию от этих двух утверждений. "Параллелепипед - это..." - это не значит, что мы взяли такой-то кусок пространства и составили сложили из него параллелепипед. Ведь он там был и без того (или даже не был). Обозначили, что это параллелепипед, и все. Параллелепипед - не операция. Вот примерно так же у меня воспринимается следствие.

[AlexDem]

missa1 в сообщении #1019334 писал(а):

Вы написали стандартное описание, но я его не более чем просто вижу. Как это себе представить, чтоб понять, я не нахожу пока способа.

Проще всего, наверное, обратить внимание на таблицы истинности, импликация там среди прочих.

[svv]

missa1
Я, кажется, Вас понял. Когда пишут $a\wedge b$, Вы понимаете, что это просто выражение, которое может быть истинно и ложно, а когда пишут $a\Rightarrow b$, Вам кажется, что это всегда истинно, как теорема.

[Brukvalub]

missa1 в сообщении #1019334 писал(а):

Это определение. Связка между двумя утверждениями.

Вы у пивного киоска никогда не стояли, иначе бы вы знали все стандартные связки между утверждениями!

[missa1]

AlexDem в сообщении #1019336 писал(а):

missa1 в сообщении #1019334 писал(а):

Вы написали стандартное описание, но я его не более чем просто вижу. Как это себе представить, чтоб понять, я не нахожу пока способа.

Проще всего, наверное, обратить внимание на таблицы истинности, импликация там среди прочих.

Спасибо. Насчёт таблицы истинности. Я гуманитарий, но по математике у меня была единственная четвёрка. Так вот, когда была математическая логика, я так и не понял этой таблицы истинности. Я не понимаю, почему следствие истинно, когда истинно a и b. В чём это заключается: не факт, что второе следует из первого, если они оба верны (это четвёртая строчка таблицы). Как к этой таблице относиться?

svv в сообщении #1019338 писал(а):

missa1
Я, кажется, Вас понял. Когда пишут $a\wedge b$, Вы понимаете, что это просто выражение, которое может быть истинно и ложно, а когда пишут $a\Rightarrow b$, Вам кажется, что это всегда истинно, как теорема.

Нет, мне не всегда кажется, что это теорема. Я не понимаю, почему следствие - это операция над высказываниями. Это не операция. Это "штука". Треугольник - это "штука", а не "действие".

Вопрос: "Верно ли, что из А следует Б?" - точнее, ответ на него является логической функцией и операцией. А само следствие - нет.

[AlexDem]

missa1 в сообщении #1019342 писал(а):

Спасибо. Насчёт таблицы истинности. Я гуманитарий, но по математике у меня была единственная четвёрка. Так вот, когда была математическая логика, я так и не понял этой таблицы истинности. Я не понимаю, почему следствие истинно, когда истинно a и b. В чём это заключается: не факт, что второе следует из первого, если они оба верны (это четвёртая строчка таблицы). Как к этой таблице относиться?

На начальном этапе её не надо понимать, надо просто зазубрить и понять, что импликация - такая же операция, как и остальные. А потом уже можно копаться в философии.

(Я не случайно такой совет даю, нас тоже не учили понимать импликацию как операцию, и привести интуицию в порядок мне помогли именно таблицы)

[missa1]

AlexDem в сообщении #1019343 писал(а):

missa1 в сообщении #1019342 писал(а):

Спасибо. Насчёт таблицы истинности. Я гуманитарий, но по математике у меня была единственная четвёрка. Так вот, когда была математическая логика, я так и не понял этой таблицы истинности. Я не понимаю, почему следствие истинно, когда истинно a и b. В чём это заключается: не факт, что второе следует из первого, если они оба верны (это четвёртая строчка таблицы). Как к этой таблице относиться?

На начальном этапе её не надо понимать, надо просто зазубрить и понять, что импликация - такая же операция, как и остальные. А потом уже можно копаться в философии.

(Я не случайно такой совет даю, нас тоже не учили понимать импликацию как операцию, и привести интуицию в порядок мне помогли именно таблицы)

Интересно, потому что такой совет мне никто никогда не давал (это правда, вообще ни с одним материалом). Вы где учились математической логике?

Заодно понял, как объяснить, что я ещё не понимаю. Вот есть функция "А и Б". Как я понимаю это: если А верно и Б верно, то верно, что "А и Б", и можно записать соответствующую строчку в таблицу истинности; если, например, А неверно и Б верно, то неверно, что "А и Б", записываем соответствующую строчку в таблицу истинности.

А со следствием как быть? Вот "А, следовательно Б". Ну и что? Если А верно, но Б в тот же момент неверно, то понятно, что следствие неверно. А вот, например, если Б верно (каким бы ни было при этом А), то это ничего не говорит о том, верно ли, что "А, следовательно Б"! Ведь оно может быть и так, и так.

[AlexDem]

missa1 в сообщении #1019344 писал(а):

Вы где учились математической логике?

Ну, я, по крайней мере, не гуманитарий

missa1 в сообщении #1019344 писал(а):

А со следствием как быть?

Точно так же. Если Вам стрелка $a \to b$ глаз колет, напишите вместо неё какой-нибудь символ $a \oslash b$ и будет Вам счастье.

[svv]

missa1
Совет: «отвяжите» $a \Rightarrow b$ от смысла логического следования. Понимайте её только так: всякий раз, когда $a$, то и $b$ (может быть, чисто случайно, а, возможно, и нет). Уже будет легче.

[missa1]

svv в сообщении #1019347 писал(а):

missa1
Совет: «отвяжите» $a \Rightarrow b$ от смысла логического следования. Понимайте её только так: всякий раз, когда $a$, то и $b$ (может быть, чисто случайно, а, возможно, и нет). Уже будет легче.

Хорошо. Но ко мне придёт понимание, как это на самом деле связано с общеупотребляемым понятием "следствие"? И при каких обстоятельствах? Если нужно, я готов изучить полностью какой-нибудь курс логики для этого (например, Верещагина и Шеня), хотя изначально не планировал этого. Но встанут ли тогда на свои места примерно такие вот штуки?

[Kras]

Я даже не знаю что такое причинно-следственные связи в логике. И какое отношение сюда имеет импликация.

Импликация $A\Rightarrow B$ — это то же самое, что $(\neg A) \vee B$. Возможно, если вы дизъюнкцию признали операцией, то так будет проще понять:) Что нам важно? Нам важно, что в таблице истинности выписаны все возможные ситуации, т.е. функция задана табличным способом. Теперь мы имеем все основания считать, к примеру, что $1\Rightarrow 0 = 0$, или $a\Rightarrow a = 1$, или даже $ (\neg a)\Rightarrow a=a$.

Что же касается различных школьных упражнений (неравенства, системы уравнений), где используется знак логического следования, то запись $A\Rightarrow B$ понимается, как "истинно, что $A\Rightarrow B$". Ложь нас не интересует. Или даже более строго "когда $A$ — истина, $B$ — тоже истина". Зависит от контекста.

Например в арифметике $a<b$ и $b<c$, значит $a<c$ (представляем себе числовую ось, где 'меньше' значит левее). То же самое можно записать короче: $(a<b)\wedge (b<c)\Rightarrow (a<c)$.

[svv]

missa1
Такое понимание уже позволяет составить таблицу истинности. Например, один мой знакомый заметил, что на его день рождения (в апреле) всегда необычно холодно для апреля. Т.е., в обозначениях $a$="сегодня 29 апреля", $b$="сегодня на улице собачий холод", он утверждает, что $a \Rightarrow b$. Единственная ситуация, которая это может опровергнуть — это когда $a$, но не $b$ ("смотри, сегодня 29 апреля, а совсем не холодно"). Сравните с таблицей истинности для импликации.