Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость

[demolishka]

Вы не то раскладываете. Пусть $t=x^{-\frac23}\sin x$, $t \to 0$ при $x \to +\infty$. Вот и разложите $e^t$ в нуле.

[anton1423]

$e^t = 1 + t + O(t^2) \Rightarrow 1-e^t = -t + O(t^2)$
Те получаю интеграл
$\int\limits_{1}^{\infty} (-x^{-2/3} \sin x + O(x^{-4/3} \sin^2 x) )dx$
Так?

[demolishka]

А куда остаток потеряли и $dx$? И хватит ли вам такой точности для вычисления?

[ewert]

anton1423 в сообщении #1018598 писал(а):

Так правильно?

Так, конечно, неправильно (Вы куда-то зачем-то синусы потеряли). Однако гораздо интереснее другое: раз уж Вы знаете про "$O$ (а не только про $o$) -- зачем третий-то член в явном виде выписывать?...

Не забывайте, что существует ещё и тупо первый признак сравнения, вкупе с понятием абсолютной сходимости.

[Otta]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1018615 писал(а):

Так, конечно, неправильно (Вы куда-то зачем-то синусы потеряли).

Как куда? он их разложил. ))

[demolishka]

anton1423 в сообщении #1018606 писал(а):

$\int\limits_{1}^{\infty} (-x^{-2/3} \sin x + O(x^{-4/3} \sin^2 x) )dx$
Так?

Теперь так. Осталось показать сходимость интегралов от каждого слагаемого.

[anton1423]

Думаю над тем, чтобы представить первое слагаемое в виде произведения двух, тк синус - ограничен. Но тогда $\frac{1}{x^{2/3}}$ - расходится, а значит никаких признаков на это разложение видимо нет

[demolishka]

Про признаки сходимости интегралов что-нибудь слышали?

[ewert]

anton1423 в сообщении #1018627 писал(а):

Думаю над тем, чтобы представить первое слагаемое в виде произведения двух,

Думайте лучше про Дирихле, умный мужик был. Можно, конечно, и без него на коленке выкрутиться, но это будет уныло. Злые же преподы точно намекали Вам именно на него.

[anton1423]

$ \sin x$ - имеет ограниченную первообразную, а $-x^{-2/3}\to 0 \Rightarrow$ интеграл от первого слагаемого сходится. А как исследовать интеграл от O?

[Otta]

Для начала вспомнить определение О большого.

[anton1423]

$f = O(g)$ при $x\to x_0$ если есть константа $C>0$ тч $ |f(x)|\leqslant C|g(x)|$ для всех $x$ из окрестности $x_0$

[Otta]

Ну и что же Вы остановились? пишите, что это означает для второго слагаемого.

[anton1423]

Значит, что есть такая $f(x)$, что есть константа $C>0$ тч $ |f(x)|\leqslant C| x^{-4/3} \sin^2 x |$ для всех $x$ из окрестности $x_0$. Значит, если $$\int\limits_{1}^{\infty} |x^{-4/3} \sin^2 x|$, то и интеграл от второго слагаемого сходится по признаку сравнения. Причем сходятся они абсолютно. Так?

[Otta]

Ну, смысл верен, слова хромают на обе ноги.
Что однозначно нуждается в разъяснении - где именно выполнена Ваша оценка. Поскольку никаких $x_0$ у Вас нет.

А с О большими признаки Вам не формулировали, не? (Не то, чтобы они слишком нужны, но жизнь будет проще выглядеть.)