Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость

[anton1423]

На промежутке $[0, \infty)$?
А $$\int\limits_{1}^{\infty} |x^{-4/3} \sin^2 x|$ сходится по по признаку Абеля
То есть получается сходящийся интеграл + абсолютно сходящийся. И тогда исходный интеграл будет сходится абсолютно или условно?

Признаков с O, к сожалению, не было

[Otta]

anton1423 в сообщении #1018650 писал(а):

На промежутке $[0, \infty)$?

Нет. Что у Вас вместо точки $x_0$ выступает? куда переменная стремится? В окрестности чего будет выполнено неравенство?

anton1423 в сообщении #1018650 писал(а):

сходится по по признаку Абеля

Как Вы здесь делаете Абеля, можно узнать?

[anton1423]

Переменная стремиться к $\infty$, те неравенство верно в окрестности бесконечности?
$f(x)=|\sin^2 x |$ - монотонна и ограничена, а $$\int\limits_{1}^{\infty} |\frac{1}{x^{4/3}}|$ сходится тк $4/3>1$

[Otta]

Перестаньте уже вешать модули на знакопостоянные и даже неотрицательные функции.

anton1423 в сообщении #1018654 писал(а):

$f(x)=|\sin^2 x |$ - монотонна

Вы график синуса себе представляете? Можете себе представить, чтобы это стало монотонным при возведении в квадрат?

-- 23.05.2015, 04:13 --

anton1423 в сообщении #1018654 писал(а):

Переменная стремиться к $\infty$, те неравенство верно в окрестности бесконечности?

Угу, это стало быть при каких $x$? Хочется что-то вроде промежутка видеть.

[anton1423]

Да, с монотонностью я ошибся
$x\in(\delta,\infty)$

[Otta]

ЗЫ Меня в детстве учили так: если подынтегральная функция знакопостоянна, то признаки Абеля и Дирихле (один, кстати, следствие другого) не привнесут никакой информации о наличии сходимости, дополнительной к той, что дают предназначенные для таких случаев теоремы сравнения.

Поэтому Дирихле-Абеля имеет смысл использовать только для знакопеременных рядов и интегралов.

anton1423 в сообщении #1018659 писал(а):

$x\in(\delta,\infty)$

Вот, это другое дело.

[anton1423]

Можно ли использовать признак сравнения, тк $ \sin^2 x \leqslant 1$?

И что делать с абсолютной сходимостью?

[Otta]

Условия признака выполнены? почему вопрос возник?

[anton1423]

Все условия выполнены

Сходящийся + абсолютно сходящийся интегралы в результате же дают просто сходящийся?

[Otta]

anton1423 в сообщении #1018667 писал(а):

Сходящийся + абсолютно сходящийся интегралы в результате же дают просто сходящийся?

По-дурацки вопрос поставлен, честно говоря.
Для того, чтобы интеграл от суммы сходился, достаточно сходимости каждого слагаемого.
Для абсолютной сходимости интеграла от суммы достаточно абсолютной сходимости каждого.
Если удается доказать, что из двух слагаемых ровно одно сходится, а второе нет, то суммарный интеграл расходится. Это легко доказывается от противного.
Этот же факт полезен при доказательстве условной сходимости интеграла.

(Оффтоп)

У меня на сегодня все, извините. Во-первых, пора, во-вторых, меня несколько напрягает общение в режиме чата, там где его не должно быть: КПД такого формата близок к нулю. Доделайте, потом спросите, верно ли.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1018649 писал(а):

А с О большими признаки Вам не формулировали, не?

Не, конечно (хоть меня там и не стояло). Их никто никогда не формулирует. Всегда подразумевается, что если товарищ понимает, что такое О-большие сами по себе и что такое признаки сравнения сами по себе, то уж скомбинировать их при необходимости он всяко сможет, после пары-тройки примеров, конечно.

Ну а если не может -- значит, и аминь.

-- Сб май 23, 2015 20:08:57 --

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1018672 писал(а):

По-дурацки вопрос поставлен, честно говоря.

Вообще-то этот ответ (а не вопрос) вполне правильно поставлен.

(акцент в нём явно ставился на том, что абсолютность хоть чего-то никак не обеспечивает абсолютности абсолютно)

[Otta]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1018848 писал(а):

Вообще-то этот ответ (а не вопрос) вполне правильно поставлен.

Какой ответ? Если Вы про мой, то спасибо, конечно, но это ответ на тот вопрос, который должен был прозвучать, а не на тот, который прозвучал. :)

ewert в сообщении #1018848 писал(а):

Не, конечно (хоть меня там и не стояло). Их никто никогда не формулирует. Всегда подразумевается, что если товарищ понимает, что такое О-большие сами по себе и что такое признаки сравнения сами по себе, то уж скомбинировать их при необходимости он всяко сможет, после пары-тройки примеров, конечно.

Ну а если не может -- значит, и аминь.

Эх, ewert. Как я люблю Вас слушать, о том, как жизнь устроена в идеале. Я с Вами даже соглашусь. Да. В идеале она именно так и устроена. Сама никогда не формулировала (скромно примазываюсь к идеалам ). Но "никто никогда" не скажу. Знаю контрпримеры и знаю, чем руководствуются те, кто делает иначе.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1018864 писал(а):

Знаю контрпримеры и знаю, чем руководствуются те, кто делает иначе.

А чем?...

Если студент не в состоянии думать, то он, во всяком случае, не математик. Но тогда ему вообще никогда в жизни не доведётся сталкиваться с вопросом о сходимости или расходимости интегралов. А тогда какой смысл ему зазубривать ещё и какие-то спецрецепты на этот счёт?...