2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:29 


22/05/15
17
Помогите, пожалуйста, разобраться
Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
$\int\limits_{1}^{\infty}(1-e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x})$

Что я пытался делать:
=$\int\limits_{1}^{\infty}(1-e^{\frac{1}{x}^{\frac{2}{3}}\sin x})$
$\lim\limits_{x\to\infty}^{} \frac{1}{x}^{\frac{2}{3}}\sin x = 0 $
Тогда при $x\to\infty$
$(1-e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x})\to0$
И значит интеграл сходится. Это правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
На какой признак ссылаться будете?
$\int_1^\infty \frac 1x\, dx$ сходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:45 


22/05/15
17
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p}$ сходится $\Longleftrightarrow p>1 \Rightarrow $ $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x}$ - расходится.
Ссылаться видимо на асимптотический признак

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Видите, расходится. А к нулю стремится.
Как Вы собираетесь использовать асимптотический признак, не глядя асимптотику?

И какие-то у Вас интегралы... чего-то в них не хватает. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anton1423 в сообщении #1018554 писал(а):
Ссылаться видимо на асимптотический признак

А что такое "асимптотический признак"?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:54 


22/05/15
17
Вынести минус, а затем учесть, что
$e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x} -1 \sim x^{-\frac{2}{3}}\sin x $

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Это здорово, а условия, при которых этот признак работает, выполнены? Какие там условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anton1423 в сообщении #1018559 писал(а):
а затем учесть, что
$e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x} -1 \sim$ x^{-\frac{2}{3}}\sin x $

А нет такого признака. Угадайте, почему.

И только после этого сможете задуматься, что же всё-таки надо делать, чтобы выкрутиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение22.05.2015, 23:58 


20/03/14
12041
 i  anton1423
Формула должна содержать ровно два доллара - один в начале, один в конце. Посередине не надо.

Исправляйте, результаты уже налицо.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение23.05.2015, 00:03 


22/05/15
17
Асимптотический признак - если $ f(x)\geqslant 0, f(x) \sim g(x)$ то $\int\limits_{a}^{b} f(x) $ сходится $\Longleftrightarrow \int\limits_{a}^{b} g(x) $ сходится. Разве такого признака нет?
Формулу вроде исправил

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение23.05.2015, 00:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вот именно, что неотрицательна.

Во всяком случае, не меняет знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение23.05.2015, 00:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
anton1423 в сообщении #1018565 писал(а):
$ f(x)\geqslant 0, f(x) \sim g(x)$ то $\int\limits_{a}^{b} f(x) $ сходится $\Longleftrightarrow \int\limits_{a}^{b} g(x) $ сходится. Разве такого признака нет?

Строго говоря, нет. У Вас там небрежность в формулировке, которая делает эту формулировку формально бессмысленной. Но это ладно, семечки. Проблема действительно в знакопеременности.

А ведь как хотелось бы заменить на эквивалентное... Но если хочется, да вот нельзя -- что следующее должно приходить в голову?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение23.05.2015, 00:17 


22/05/15
17
Разложение в ряд Тейлора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение23.05.2015, 00:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Именно. Только не в ряд, а в формулу.

Причём Вам достаточно будет просто выписать оценку остатка в этой формуле для тех членов, которые Вы уже привели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
Сообщение23.05.2015, 00:36 


22/05/15
17
$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+ O(x^5)$
Тогда
$x^{-\frac{2}{3}}\sin x = x^{\frac{1}{3}}-\frac{x^{2\frac{1}{3}}}{6}+ O(x^{4\frac{1}{3}})$
Тогда
$1-e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x} = 1-(1+x^{\frac{1}{3}}+\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} )+ O(x) = -x^{\frac{1}{3}}-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} + O(x)$
Так правильно?
Но ведь она все равно не $\geqslant 0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group