Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость

[anton1423]

Помогите, пожалуйста, разобраться
Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость
$\int\limits_{1}^{\infty}(1-e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x})$

Что я пытался делать:
=$\int\limits_{1}^{\infty}(1-e^{\frac{1}{x}^{\frac{2}{3}}\sin x})$
$\lim\limits_{x\to\infty}^{} \frac{1}{x}^{\frac{2}{3}}\sin x = 0 $
Тогда при $x\to\infty$
$(1-e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x})\to0$
И значит интеграл сходится. Это правильно?

[Otta]

На какой признак ссылаться будете?
$\int_1^\infty \frac 1x\, dx$ сходится?

[anton1423]

$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p}$ сходится $\Longleftrightarrow p>1 \Rightarrow $ $\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x}$ - расходится.
Ссылаться видимо на асимптотический признак

[Otta]

Видите, расходится. А к нулю стремится.
Как Вы собираетесь использовать асимптотический признак, не глядя асимптотику?

И какие-то у Вас интегралы... чего-то в них не хватает.

[ewert]

anton1423 в сообщении #1018554 писал(а):

Ссылаться видимо на асимптотический признак

А что такое "асимптотический признак"?...

[anton1423]

Вынести минус, а затем учесть, что
$e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x} -1 \sim x^{-\frac{2}{3}}\sin x $

[Otta]

Это здорово, а условия, при которых этот признак работает, выполнены? Какие там условия?

[ewert]

anton1423 в сообщении #1018559 писал(а):

а затем учесть, что
$e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x} -1 \sim$ x^{-\frac{2}{3}}\sin x $

А нет такого признака. Угадайте, почему.

И только после этого сможете задуматься, что же всё-таки надо делать, чтобы выкрутиться.

[Lia]

anton1423
Формула должна содержать ровно два доллара - один в начале, один в конце. Посередине не надо.

Исправляйте, результаты уже налицо.

Спасибо.

[anton1423]

Асимптотический признак - если $ f(x)\geqslant 0, f(x) \sim g(x)$ то $\int\limits_{a}^{b} f(x) $ сходится $\Longleftrightarrow \int\limits_{a}^{b} g(x) $ сходится. Разве такого признака нет?
Формулу вроде исправил

[Otta]

Вот именно, что неотрицательна.

Во всяком случае, не меняет знак.

[ewert]

anton1423 в сообщении #1018565 писал(а):

$ f(x)\geqslant 0, f(x) \sim g(x)$ то $\int\limits_{a}^{b} f(x) $ сходится $\Longleftrightarrow \int\limits_{a}^{b} g(x) $ сходится. Разве такого признака нет?

Строго говоря, нет. У Вас там небрежность в формулировке, которая делает эту формулировку формально бессмысленной. Но это ладно, семечки. Проблема действительно в знакопеременности.

А ведь как хотелось бы заменить на эквивалентное... Но если хочется, да вот нельзя -- что следующее должно приходить в голову?...

[anton1423]

Разложение в ряд Тейлора?

[ewert]

Именно. Только не в ряд, а в формулу.

Причём Вам достаточно будет просто выписать оценку остатка в этой формуле для тех членов, которые Вы уже привели.

[anton1423]

$\sin x = x-\frac{x^3}{6}+ O(x^5)$
Тогда
$x^{-\frac{2}{3}}\sin x = x^{\frac{1}{3}}-\frac{x^{2\frac{1}{3}}}{6}+ O(x^{4\frac{1}{3}})$
Тогда
$1-e^{x^{-\frac{2}{3}}\sin x} = 1-(1+x^{\frac{1}{3}}+\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} )+ O(x) = -x^{\frac{1}{3}}-\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2} + O(x)$
Так правильно?
Но ведь она все равно не $\geqslant 0$