2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проекция на подпространство
Сообщение16.05.2015, 00:13 


15/05/15
25
Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться с тем, как построить проекцию вектора на подпространство.
Пусть $X$ - гильбертово пространство, $h\in X$ и $Y$ - является подпространством.
Проекция это такой элемент $z_0\in Y$, что \|h-z_0\|=\inf\limits_{z\in Y}\|h-z\|$.
$Y$ - подпространство, значит является выпуклым и замкнутым подмножеством $X$. Следовательно проекция существует.
Если дана ортонормированная система векторов $\{\phi_k\}_k\subset Y$, такая что, замыкание её линейной оболочки совпадает с $Y$, то можно посчитать коэффициенты Фурье вектора $h$ $c_k=(h,\phi_k)$. Составленная из этих коэффициентов линейная комбинация $\sum\limits_k c_k\phi_k$ и будет являться проекцией вектора $h$.

В случае когда пространство $Y$ задано, как замыкание линейной оболочки линейно независимой системы векторов, понятно как искать проекцию(если я не ошибся). Нужно ортонормировать систему и найти коэффициенты Фурье.

А что делать в случае, когда подпространство задано, как ядро непрерывного линейного функционала?
Например, пусть $X=L_2[a,b]$, $Y=\ker f_1\cap\ker f_2$, где $f_1(x)=\int\limits_a^b x(t)dt$ и $f_2(x)=\int\limits_a^c  x(t)dt,\ c\in[a,b)$. Как найти линейно независимую систему векторов замыкание линейной оболочки которой совпадёт со всем $Y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение16.05.2015, 00:33 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
Tulse_Luper в сообщении #1015811 писал(а):
А что делать в случае, когда подпространство задано, как ядро непрерывного линейного функционала?

Тогда стройте прежде всего копроекцию, т.е. сначала проекцию на ортогональное дополнение, а потом тупо вычитайте. Раз уж у Вас оно гильбертово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение16.05.2015, 09:41 


15/05/15
25
ewert в сообщении #1015819 писал(а):
проекцию на ортогональное дополнение


Спасибо.

Так как, каждый непрерывный линейный функционал в X может быть представлен, как $f(x)=(x,x_0),\ x_0\in X$, то замыкание линейной оболочки $x_0$ и будет являться ортогональным дополнением ядра. Далее нужно просто найти коэффициент Фурье $c_0=(h,x_0)/\|x_0\|^2$. Проекцией будет $h- c_0 x_0$.
А если брать пересечение ядер функционалов, то замыкание линейной оболочки образующих их элементов будет ортогональным дополнением к пересечению ядер. Значит нужно выбрать максимальную линейно независимую систему из образующих функционалы элементов, ортонормировать её и найти коэффициенты Фурье, вычесть из $h$ линейную комбинацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение19.05.2015, 00:34 


10/02/11
6786
Tulse_Luper в сообщении #1015811 писал(а):
Пусть $X$ - гильбертово пространство, $h\in X$ и $Y$ - является подпространством.
Проекция это такой элемент $z_0\in Y$, что \|h-z_0\|=\inf\limits_{z\in Y}\|h-z\|$

а что разве для того чтоб этот inf достигался банаховости недостаточно, обязательно гильбертовость нужна?

-- Вт май 19, 2015 01:32:40 --

похоже банаховости мало, еще рефлексивность нужна

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение22.05.2015, 19:40 


15/05/15
25
Возник ещё один вопрос по теме поиска проекции на подпространство. Более конкретный.
Пусть $X=L_2[-5,5]$, $Y=\ker f\cap B,$ где $B=\{x\in L_2[-5,5]:x(t)=x(-t)\}$. $f$ - непрерывный функционал. Как в этом случае искать ортонормированный базис в $Y^\perp$?
$X$ - можно представить в виде прямой суммы подпространств четных и нечётных функций. Но как выглядит $Y^\perp$ не представляю.

Oleg Zubelevich в сообщении #1017000 писал(а):
а что разве для того чтоб этот inf достигался банаховости недостаточно, обязательно гильбертовость нужна?

В условиях задачи, пространство было гильбертово. В случае просто банахово пространства $X$, как я понимаю, задача поиска проекции на подпространство $Y$ сводится к задаче поиска точки минимума функционала $z\mapsto\|h-z\|$ определенного на этом подпространстве.

Oleg Zubelevich в сообщении #1017000 писал(а):
похоже банаховости мало, еще рефлексивность нужна

А зачем нужна рефлексивность? Ведь для любого элемента в банаховом пространстве в любом замкнутом выпуклом подмножестве найдется точка наименее удаленная от заданного элемента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение22.05.2015, 19:55 


10/02/11
6786
Tulse_Luper в сообщении #1018455 писал(а):
Ведь для любого элемента в банаховом пространстве в любом замкнутом выпуклом подмножестве найдется точка наименее удаленная от заданного элемента

доказательсво приведите или ссылку

-- Пт май 22, 2015 20:04:34 --

В пространстве $\ell^\infty$ рассмотрим множество последовательностей $\{x_k\}$ таких, что $x_k\ge 1/k$. Очевидно это множество замкнуто и выпукло. Ну и где в нем элемент наименее отстоящий от нуля? :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проекция на подпространство
Сообщение22.05.2015, 20:19 


15/05/15
25
Да, написал не правду. Доказательство знаю только для гильбертова пространства. Надо подробней будет разобраться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group