Проекция на подпространство

[Tulse_Luper]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разобраться с тем, как построить проекцию вектора на подпространство.
Пусть $X$ - гильбертово пространство, $h\in X$ и $Y$ - является подпространством.
Проекция это такой элемент $z_0\in Y$, что \|h-z_0\|=\inf\limits_{z\in Y}\|h-z\|$.
$Y$ - подпространство, значит является выпуклым и замкнутым подмножеством $X$. Следовательно проекция существует.
Если дана ортонормированная система векторов $\{\phi_k\}_k\subset Y$, такая что, замыкание её линейной оболочки совпадает с $Y$, то можно посчитать коэффициенты Фурье вектора $h$ $c_k=(h,\phi_k)$. Составленная из этих коэффициентов линейная комбинация $\sum\limits_k c_k\phi_k$ и будет являться проекцией вектора $h$.

В случае когда пространство $Y$ задано, как замыкание линейной оболочки линейно независимой системы векторов, понятно как искать проекцию(если я не ошибся). Нужно ортонормировать систему и найти коэффициенты Фурье.

А что делать в случае, когда подпространство задано, как ядро непрерывного линейного функционала?
Например, пусть $X=L_2[a,b]$, $Y=\ker f_1\cap\ker f_2$, где $f_1(x)=\int\limits_a^b x(t)dt$ и $f_2(x)=\int\limits_a^c x(t)dt,\ c\in[a,b)$. Как найти линейно независимую систему векторов замыкание линейной оболочки которой совпадёт со всем $Y$?

[ewert]

Tulse_Luper в сообщении #1015811 писал(а):

А что делать в случае, когда подпространство задано, как ядро непрерывного линейного функционала?

Тогда стройте прежде всего копроекцию, т.е. сначала проекцию на ортогональное дополнение, а потом тупо вычитайте. Раз уж у Вас оно гильбертово.

[Tulse_Luper]

ewert в сообщении #1015819 писал(а):

проекцию на ортогональное дополнение

Спасибо.

Так как, каждый непрерывный линейный функционал в X может быть представлен, как $f(x)=(x,x_0),\ x_0\in X$, то замыкание линейной оболочки $x_0$ и будет являться ортогональным дополнением ядра. Далее нужно просто найти коэффициент Фурье $c_0=(h,x_0)/\|x_0\|^2$. Проекцией будет $h- c_0 x_0$.
А если брать пересечение ядер функционалов, то замыкание линейной оболочки образующих их элементов будет ортогональным дополнением к пересечению ядер. Значит нужно выбрать максимальную линейно независимую систему из образующих функционалы элементов, ортонормировать её и найти коэффициенты Фурье, вычесть из $h$ линейную комбинацию.

[Oleg Zubelevich]

Tulse_Luper в сообщении #1015811 писал(а):

Пусть $X$ - гильбертово пространство, $h\in X$ и $Y$ - является подпространством.
Проекция это такой элемент $z_0\in Y$, что \|h-z_0\|=\inf\limits_{z\in Y}\|h-z\|$

а что разве для того чтоб этот inf достигался банаховости недостаточно, обязательно гильбертовость нужна?

-- Вт май 19, 2015 01:32:40 --

похоже банаховости мало, еще рефлексивность нужна

[Tulse_Luper]

Возник ещё один вопрос по теме поиска проекции на подпространство. Более конкретный.
Пусть $X=L_2[-5,5]$, $Y=\ker f\cap B,$ где $B=\{x\in L_2[-5,5]:x(t)=x(-t)\}$. $f$ - непрерывный функционал. Как в этом случае искать ортонормированный базис в $Y^\perp$?
$X$ - можно представить в виде прямой суммы подпространств четных и нечётных функций. Но как выглядит $Y^\perp$ не представляю.

Oleg Zubelevich в сообщении #1017000 писал(а):

а что разве для того чтоб этот inf достигался банаховости недостаточно, обязательно гильбертовость нужна?

В условиях задачи, пространство было гильбертово. В случае просто банахово пространства $X$, как я понимаю, задача поиска проекции на подпространство $Y$ сводится к задаче поиска точки минимума функционала $z\mapsto\|h-z\|$ определенного на этом подпространстве.

Oleg Zubelevich в сообщении #1017000 писал(а):

похоже банаховости мало, еще рефлексивность нужна

А зачем нужна рефлексивность? Ведь для любого элемента в банаховом пространстве в любом замкнутом выпуклом подмножестве найдется точка наименее удаленная от заданного элемента.

[Oleg Zubelevich]

Tulse_Luper в сообщении #1018455 писал(а):

Ведь для любого элемента в банаховом пространстве в любом замкнутом выпуклом подмножестве найдется точка наименее удаленная от заданного элемента

доказательсво приведите или ссылку

-- Пт май 22, 2015 20:04:34 --

В пространстве $\ell^\infty$ рассмотрим множество последовательностей $\{x_k\}$ таких, что $x_k\ge 1/k$. Очевидно это множество замкнуто и выпукло. Ну и где в нем элемент наименее отстоящий от нуля?

[Tulse_Luper]

Да, написал не правду. Доказательство знаю только для гильбертова пространства. Надо подробней будет разобраться.