Общая космологическая модель с плоским простр. сечением

[SergeyGubanov]

Предлагаю обсудить найденное мной общее решение системы уравнений ОТО для Мира с плоским пространственным сечением с учётом лямбда члена и идеальной пыли.

Решения Шварцшильда, Фридмана и де Ситтера и все их комбинации друг с другом являются частными случаями общего решения.


Уравнения.
Ищем решение уравнений ОТО с лямбда членом $\Lambda = \frac{4}{3}\lambda^2$ и Фридмановской идеальной пылью в правой части:

$$ G_{\mu \nu} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi k}{c^4} T^{\text{Dust}}_{\mu \nu} $$

Метрика сферически симметрична и зависит всего от одной функции $V(t, r)$:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 $$

Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна:

$$ G_{t t} = - \frac{V}{r^2} \left( V^3 - 2 r V' (1 - V^2) + V (2 r \dot{V} - 1) \right), $$

$$ G_{t r} = \frac{2 V}{r^2} \left( r \dot{V} + \frac{1}{2} \left( r V^2 \right)' \right), $$

$$ G_{r r} = - \frac{2}{r^2} \left( r \dot{V} + \frac{1}{2}\left( r V^2 \right)' \right), $$

$$ G_{\theta \theta} = - r \left( r \dot{V} + \frac{1}{2} \left( r V^2 \right)' \right)', $$

$$ G_{\varphi \varphi} = - r \sin(\theta)^2 \left( r \dot{V} + \frac{1}{2} \left( r V^2 \right)' \right)'. $$

Точкой и штрихом обозначено дифференцирование по $t$ и по $r$ соответственно.

Поскольку идеальная пыль не имеет Лагранжиана её учёт осуществляется следующим образом. Сначала решаются "$t r$", "$r r$", "$\theta \theta$" и "$\varphi \varphi$" уравнения. Для них правая часть равна нулю. То что получилось для левой части "$tt$" уравнения объявляется плотностью энергии идеальной пыли.

Легко видеть, что "$t r$", "$r r$", "$\theta \theta$", "$\varphi \varphi$" уравнения сводятся всего к одному уравнению:

$$ \dot{V} + \frac{1}{2r} \left( r V^2 \right)' = \frac{2}{3} \lambda^2 r $$

Общее решение.
Общее решение для $V(t, r)$ можно записать в неявном виде:

$$ F\left( \sqrt{r} \left( \cosh(\lambda t) V - \frac{2\lambda r}{3} \sinh(\lambda t) \right), \sqrt{r} \left( \sinh(\lambda t) V - \frac{2\lambda r}{3} \cosh(\lambda t) \right) \right) = 0. $$

Здесь $F(\alpha, \beta)$ -- произвольная функция двух переменных. Случаю $\lambda = 0$ соответствует

$$ F\left( \sqrt{r} V, \sqrt{r} \left( V t - \frac{2 r}{3} \right) \right) = 0. $$

Далее рассмотрены частные случаи.

Решение Шварцшильда.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \alpha \pm \sqrt{2 k M}$ и устремление лямбда члена к нулю в результате даёт

$$ V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}}, $$

что соответствует решению Шварцшильда в системе координат Пэнлевэ. Если не устремлять лямбда член к нулю, то получается

$$ V = \frac{2}{3} \lambda r \tanh(\lambda t) \pm \sqrt{\frac{2 k \tilde{M}(t)}{r}}, \quad \tilde{M}(t) = \frac{M}{\cosh^2(\lambda t)}. $$

Решение Фридмана.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \beta$ и устремление лямбда члена к нулю в результате даёт

$$ V = \frac{2 r}{3 t}, $$

что соответствует решению Фридмана. Сделав преобразование координат его можно привести к каноническому виду:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( \frac{t}{T} \right)^{4/3} \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right). $$

Если не устремлять лямбда член к нулю, то получается

$$ V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t). $$

Решение де Ситтера.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \alpha + \beta$ даёт

$$ V = \frac{2}{3} r \lambda, $$

что соответствует решению де Ситтера. Сделав преобразования координат его можно привести к одному из канонических видов:

$$ ds^2 = dt^2 - \exp \left( \frac{4}{3} \lambda t \right) \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right). $$

$$ ds^2 = \left( 1 - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2. $$

Комбинация решений Шварцшильда и де Ситтера.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \alpha^2 - \beta^2 - 2 k M$ даёт

$$ V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r} + \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 }, $$

что соответствует чёрной/белой дыре в пространстве де Ситтера. Сделав преобразование координат его можно привести к каноническому виду:

$$ ds^2 = \left( 1 - \frac{2 k M}{r} - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1 - \frac{2 k M}{r} - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2} - r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2. $$

Комбинация решений Шварцшильда и Фридмана.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \beta \pm \lambda \sqrt{2 k Q}$ и устремление лямбда члена к нулю даёт

$$ V = \frac{2r}{3t} \mp \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}}, \quad M(t) = \frac{Q}{t^2}, $$

что при $r \ll t$ переходит в решение Шварцшильда с переменной массой, а при $r \gg t$ переходит в решение Фридмана. Если не устремлять лямда член к нулю, то получается

$$ V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t) \mp \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}}, \quad M(t) = \frac{Q \lambda^2}{\sinh^2(\lambda t)}. $$

Комбинация решений Фридмана и де Ситтера.
Выбор $F(\alpha, \beta) = A \alpha + B \beta$ даёт

$$ V = \frac{2 \lambda r}{3} \, \frac{A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t)}{A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t)}. $$

При $A=B$ это решение переходит в решение де Ситтера, а при $A=0$ и равном нулю лямбда члене оно переходит в решение Фридмана.



Всем желающим предлагаю рассмотреть более сложные $F(\alpha, \beta)$ и получить свои варианты смеси решений Шварцшильда, Фридмана и де Ситтера.

[Geen]

По самому решению пока ничего не могу сказать, но хотелось бы нумерации формул и плотности пыли в частных случаях.

[schekn]

Распишите ТЭИ. В той координатной системе, в которой вы решаете задачу.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #1017932 писал(а):

Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна

У меня получаются гораздо более громоздкие выражения.

[KVV]

Утундрий в сообщении #1018055 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1017932 писал(а):

Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна

У меня получаются гораздо более громоздкие выражения.

У меня сошлось.

[Утундрий]

А, пардон, я же смешанные компоненты считал.

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1017945 писал(а):

хотелось бы нумерации формул и плотности пыли в частных случаях.

Шварцшильд (при $\lambda=0$). $F(\alpha, \beta) = \alpha \pm \sqrt{2 k M}$

$$ V = \frac{2}{3} \lambda r \tanh(\lambda t) \pm \sqrt{\frac{2 k \tilde{M}(t)}{r}}, \quad \tilde{M}(t) = \frac{M}{\cosh^2(\lambda t)}. \eqno(1) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \pm \frac{2\lambda}{3 r \cosh^2(\lambda t)} \left( \mp 2 \lambda r + 3 \sinh(\lambda t) \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \right). \eqno(2) $$

Фридман (при $\lambda=0$). $F(\alpha, \beta) = \beta$

$$ V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t). \eqno(3) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4 \lambda^2}{3 \sinh^2(\lambda t)}. \eqno(4) $$

де Ситтер. $F(\alpha, \beta) = \alpha + \beta$

$$ V = \frac{2}{3} r \lambda, \eqno(5) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = 0. \eqno(6) $$

Смесь Шварцшильда и де Ситтера. $F(\alpha, \beta) = \alpha^2 - \beta^2 - 2 k M$

$$ V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r} + \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 }. \eqno(7) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = 0. \eqno(8) $$

Смесь Шварцшильда и Фридмана (при $\lambda=0$). $F(\alpha, \beta) = \beta \mp \lambda \sqrt{2 k Q}$

$$ V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t) \pm \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}}, \quad M(t) = \frac{Q \lambda^2}{\sinh^2(\lambda t)}. \eqno(9) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4 \lambda^2}{3 \sinh^2(\lambda t)} \left( 1 \pm \frac{3}{2} \cosh(\lambda t) \sqrt{\frac{2 k Q}{r^3}} \right). \eqno(10) $$

Смесь Фридмана и де Ситтера. $F(\alpha, \beta) = A \alpha + B \beta$

$$ V = \frac{2 \lambda r}{3} \, \frac{A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t)}{A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t)}. \eqno(11) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4\lambda^2 \left( B^2 - A^2 \right)}{ 3 \left( A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t) \right)^2}. \eqno(12) $$

Смесь Шварцшильда, Фридмана и де Ситтера. $F(\alpha, \beta) = A \alpha + B \beta \mp \sqrt{2 k M}$

$$ V = \frac{1}{A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t)} \left( \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} + \frac{2}{3} \lambda r \left( A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t) \right) \right). \eqno(13) $$

$$ G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4 \lambda^2 \left( (B^2 - A^2) \pm \frac{3}{2\lambda} \sqrt{\frac{2 k M}{r^3}} \left( A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t) \right) \right) }{3 (A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t))^2 }. \eqno(14) $$

schekn в сообщении #1018007 писал(а):

Распишите ТЭИ. В той координатной системе, в которой вы решаете задачу.

$$ T_{\mu \nu} = \varepsilon \; U_{\mu} U_{\nu} $$

$$ U_{\mu} = \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}, \quad U^{\mu} = \left\{ 1, V(t, r), 0, 0 \right\}. $$

То есть у дважды ковариантного тензора энергии импульса отлична от нуля только одна компонента $T_{t t} = \varepsilon$.

В то же время у дважды контравариантного тензора энергии импульса кроме $T^{t t} = \varepsilon$ ещё отличны от нуля $T^{t r} = \varepsilon V$ и $T^{r r} = \varepsilon V^2$.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1018161 писал(а):

Шварцшильд (при $\lambda=0$).

А откуда пыль в Шварцшильде (пусть даже и с лямбдой)?

[schekn]

Geen в сообщении #1018202 писал(а):

А откуда пыль в Шварцшильде (пусть даже и с лямбдой)?

При получении Шварцшильда в учебниках делается серьезное предположение , что на бесконечности для островной системы метрика переходит в метрику Минковского. Не противоречит ОТО, что граничные условия могут быть другими, например, переход в пространство постоянной кривизны. Тогда мы получим де Ситтера. А в случае совмещения Фридмана и Шварцшильда вблизи одиночной массы Шварцшильд получился "слегка" нестатическим. Гравитационная масса зависит от времени.
Это, кстати, к вопросу о функциональном произволе.

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1018202 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1018161 писал(а):

Шварцшильд (при $\lambda=0$).

А откуда пыль в Шварцшильде (пусть даже и с лямбдой)?

Классификация условная, от балды. Имеется в виду только то, что при $\lambda=0$ это решение пререходит в решение Шварцшильда.

Есть то же самое без пыли - формула (7).

schekn в сообщении #1018296 писал(а):

Гравитационная масса зависит от времени.

Я бы чуть по другому выразился -- гравитационный радиус $r_g(t)$ зависит от времени.

Уравнение для нахождения гравитационного радиуса (и внешнего горизонта событий, если он есть):

$$ V (t, r_g(t)) = \pm 1 $$

[Geen]

Если я правильно понимаю, технически несложно добавить ещё и излучение?

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #1018343 писал(а):

Если я правильно понимаю, технически несложно добавить ещё и излучение?

Попробовал добавить

$$ T_{\mu \nu} = 4 p \; U_{\mu} U_{\nu} - p \; g_{\mu \nu}, \quad U_{\mu} = \left\{1, 0, 0, 0\right\} \eqno(1) $$

Оказалось, что для совместности "$r t$", "$r r$", "$\theta \theta$" и "$\varphi \varphi$" уравнений требуется

$$ \frac{\partial p}{\partial r} = 0. \eqno(2) $$

То есть давление должно быть функцией только лишь времени $p(t)$.

В этом случае

$$ \dot{V} + \frac{1}{2r} \left( r V^2 \right)' = r \left( \frac{2}{3} \lambda^2 - 4 \pi k \, p(t) \right). \eqno(3) $$

Далее, из уравнений $\nabla_{\mu} T^{\mu \nu} = 0$ следует

$$ \frac{\dot{p}(t)}{p(t)} = - \frac{4}{3 r} \left( 2 V + r V' \right). \eqno(4) $$

Надо попробовать решить систему уравнений (3) - (4) или доказать, что она несовместна при $p \ne 0$.

[Geen]

SergeyGubanov в сообщении #1018382 писал(а):

доказать, что она несовместна при $p \ne 0$.

Ну, вообще говоря, есть же решение и для излучения в сопутствующих координатах.

[SergeyGubanov]

При $\lambda=0$ решение есть

$$ V = \frac{r}{2 t}, \quad p = \frac{1}{32\pi k \; t^2}. $$

Соответствует тому, что там обозначено "Вселенная излучения".

-- 22.05.2015, 16:27 --

При $\lambda \ne 0$ можно попробовать следующий анзац

$$ V = \frac{r}{2 f(t)}, \quad p = \frac{1}{32\pi k \; h(t)^2}. \eqno(1) $$

Уравнения на $f(t)$ и $h(t)$:

$$ \frac{\dot{h}}{h} = \frac{2}{3f}, \quad \dot{f} = \frac{3}{4} + f^2 \left( \frac{1}{4 h^2} - \frac{4\lambda^2}{3} \right) \eqno(2) $$

Mathematica эту систему "решает", но ответ слишком велик чтобы написать его здесь.

(Кусочек ответа Mathematica)

[Geen]

Ещё вопрос появился - что с однородностью пыли? - вроде бы хотелось, что бы на больших радиусах пыль была однородна, а получается, что "ЧД-слагаемое" убывает только как $r^{-3/2}$ (кажется, что это плохо).