2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение20.05.2015, 18:42 
Аватара пользователя


14/11/12
1179
Россия, Нижний Новгород
Предлагаю обсудить найденное мной общее решение системы уравнений ОТО для Мира с плоским пространственным сечением с учётом лямбда члена и идеальной пыли.

Решения Шварцшильда, Фридмана и де Ситтера и все их комбинации друг с другом являются частными случаями общего решения.


Уравнения.
Ищем решение уравнений ОТО с лямбда членом $\Lambda = \frac{4}{3}\lambda^2$ и Фридмановской идеальной пылью в правой части:
$$
G_{\mu \nu} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi k}{c^4} T^{\text{Dust}}_{\mu \nu}
$$
Метрика сферически симметрична и зависит всего от одной функции $V(t, r)$:
$$
ds^2 = dt^2 - \left( dr - V dt \right)^2 - r^2 d\theta^2  - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2
$$
Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна:
$$
G_{t t} = - \frac{V}{r^2} \left( V^3 - 2 r V' (1 - V^2) + V (2 r \dot{V} - 1) \right),
$$
$$
G_{t r} = \frac{2 V}{r^2} \left( r \dot{V} + \frac{1}{2} \left( r V^2 \right)' \right),
$$
$$
G_{r r} = - \frac{2}{r^2} \left( r \dot{V} + \frac{1}{2}\left( r V^2 \right)' \right),
$$
$$
G_{\theta \theta} = - r \left( r \dot{V} + \frac{1}{2} \left( r V^2 \right)' \right)',
$$
$$
G_{\varphi \varphi} = - r \sin(\theta)^2 \left( r \dot{V} + \frac{1}{2} \left( r V^2 \right)' \right)'.
$$
Точкой и штрихом обозначено дифференцирование по $t$ и по $r$ соответственно.

Поскольку идеальная пыль не имеет Лагранжиана её учёт осуществляется следующим образом. Сначала решаются "$t r$", "$r r$", "$\theta \theta$" и "$\varphi \varphi$" уравнения. Для них правая часть равна нулю. То что получилось для левой части "$tt$" уравнения объявляется плотностью энергии идеальной пыли.

Легко видеть, что "$t r$", "$r r$", "$\theta \theta$", "$\varphi \varphi$" уравнения сводятся всего к одному уравнению:
$$
\dot{V} + \frac{1}{2r} \left( r V^2 \right)' = \frac{2}{3} \lambda^2 r
$$

Общее решение.
Общее решение для $V(t, r)$ можно записать в неявном виде:
$$
F\left( \sqrt{r} \left( \cosh(\lambda t) V - \frac{2\lambda r}{3} \sinh(\lambda t) \right),
\sqrt{r} \left( \sinh(\lambda t) V - \frac{2\lambda r}{3} \cosh(\lambda t) \right)
\right) = 0.
$$
Здесь $F(\alpha, \beta)$ -- произвольная функция двух переменных. Случаю $\lambda = 0$ соответствует
$$
F\left( \sqrt{r} V,
\sqrt{r} \left( V t - \frac{2 r}{3} \right)
\right) = 0.
$$
Далее рассмотрены частные случаи.

Решение Шварцшильда.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \alpha \pm \sqrt{2 k M}$ и устремление лямбда члена к нулю в результате даёт
$$
V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}},
$$
что соответствует решению Шварцшильда в системе координат Пэнлевэ. Если не устремлять лямбда член к нулю, то получается
$$
V = \frac{2}{3} \lambda r \tanh(\lambda t) \pm \sqrt{\frac{2 k \tilde{M}(t)}{r}},
\quad \tilde{M}(t) = \frac{M}{\cosh^2(\lambda t)}.
$$

Решение Фридмана.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \beta$ и устремление лямбда члена к нулю в результате даёт
$$
V = \frac{2 r}{3 t},
$$
что соответствует решению Фридмана. Сделав преобразование координат его можно привести к каноническому виду:
$$
ds^2 = dt^2 - \left( \frac{t}{T} \right)^{4/3} \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right).
$$
Если не устремлять лямбда член к нулю, то получается
$$
V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t).
$$

Решение де Ситтера.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \alpha + \beta$ даёт
$$
V = \frac{2}{3} r \lambda,
$$
что соответствует решению де Ситтера. Сделав преобразования координат его можно привести к одному из канонических видов:
$$
ds^2 = dt^2 -  \exp \left( \frac{4}{3} \lambda t \right) \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2 \right).
$$
$$
ds^2 = \left( 1 - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 \right) dt^2 
- \frac{dr^2}{1 - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2}
- r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2.
$$

Комбинация решений Шварцшильда и де Ситтера.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \alpha^2 - \beta^2 - 2 k M$ даёт
$$
V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r} + \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 },
$$
что соответствует чёрной/белой дыре в пространстве де Ситтера. Сделав преобразование координат его можно привести к каноническому виду:
$$
ds^2 = \left( 1 - \frac{2 k M}{r} - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 \right) dt^2 
- \frac{dr^2}{1 - \frac{2 k M}{r} - \frac{4}{9}\lambda^2 r^2}
- r^2 d\theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d\varphi^2.
$$

Комбинация решений Шварцшильда и Фридмана.
Выбор $F(\alpha, \beta) = \beta \pm \lambda \sqrt{2 k Q}$ и устремление лямбда члена к нулю даёт
$$
V = \frac{2r}{3t} \mp \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}}, \quad M(t) = \frac{Q}{t^2},
$$
что при $r \ll t$ переходит в решение Шварцшильда с переменной массой, а при $r \gg t$ переходит в решение Фридмана. Если не устремлять лямда член к нулю, то получается
$$
V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t)  \mp \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}},
\quad M(t) = \frac{Q \lambda^2}{\sinh^2(\lambda t)}.
$$

Комбинация решений Фридмана и де Ситтера.
Выбор $F(\alpha, \beta) = A \alpha + B \beta$ даёт
$$
V = \frac{2 \lambda r}{3} \, \frac{A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t)}{A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t)}.
$$
При $A=B$ это решение переходит в решение де Ситтера, а при $A=0$ и равном нулю лямбда члене оно переходит в решение Фридмана.



Всем желающим предлагаю рассмотреть более сложные $F(\alpha, \beta)$ и получить свои варианты смеси решений Шварцшильда, Фридмана и де Ситтера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение20.05.2015, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1523
По самому решению пока ничего не могу сказать, но хотелось бы нумерации формул и плотности пыли в частных случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение20.05.2015, 21:20 
Аватара пользователя


10/12/11
1486
Москва
Распишите ТЭИ. В той координатной системе, в которой вы решаете задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение20.05.2015, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
SergeyGubanov в сообщении #1017932 писал(а):
Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна
У меня получаются гораздо более громоздкие выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение21.05.2015, 12:06 


02/11/11
1112
Утундрий в сообщении #1018055 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #1017932 писал(а):
Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна
У меня получаются гораздо более громоздкие выражения.

У меня сошлось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение21.05.2015, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
7392
А, пардон, я же смешанные компоненты считал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение21.05.2015, 14:40 
Аватара пользователя


14/11/12
1179
Россия, Нижний Новгород
Geen в сообщении #1017945 писал(а):
хотелось бы нумерации формул и плотности пыли в частных случаях.

Шварцшильд (при $\lambda=0$). $F(\alpha, \beta) = \alpha \pm \sqrt{2 k M}$
$$
V = \frac{2}{3} \lambda r \tanh(\lambda t) \pm \sqrt{\frac{2 k \tilde{M}(t)}{r}}, \quad \tilde{M}(t) = \frac{M}{\cosh^2(\lambda t)}. \eqno(1)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \pm \frac{2\lambda}{3 r \cosh^2(\lambda t)}
\left( \mp 2 \lambda r + 3 \sinh(\lambda t) \sqrt{\frac{2 k M}{r}} \right). \eqno(2)
$$

Фридман (при $\lambda=0$). $F(\alpha, \beta) = \beta$
$$
V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t). \eqno(3)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4 \lambda^2}{3 \sinh^2(\lambda t)}.  \eqno(4)
$$

де Ситтер. $F(\alpha, \beta) = \alpha + \beta$
$$
V = \frac{2}{3} r \lambda,  \eqno(5)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = 0. \eqno(6)
$$

Смесь Шварцшильда и де Ситтера. $F(\alpha, \beta) = \alpha^2 - \beta^2 - 2 k M$
$$
V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r} + \frac{4}{9}\lambda^2 r^2 }. \eqno(7)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = 0. \eqno(8)
$$

Смесь Шварцшильда и Фридмана (при $\lambda=0$). $F(\alpha, \beta) = \beta \mp \lambda \sqrt{2 k Q}$
$$
V = \frac{2}{3} \lambda r \coth(\lambda t)  \pm \sqrt{\frac{2 k M(t)}{r}}, \quad M(t) = \frac{Q \lambda^2}{\sinh^2(\lambda t)}. \eqno(9)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4 \lambda^2}{3  \sinh^2(\lambda t)}
\left( 1 \pm \frac{3}{2} \cosh(\lambda t) \sqrt{\frac{2 k Q}{r^3}} \right). \eqno(10)
$$

Смесь Фридмана и де Ситтера. $F(\alpha, \beta) = A \alpha + B \beta$
$$
V = \frac{2 \lambda r}{3} \, \frac{A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t)}{A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t)}. \eqno(11)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = \frac{4\lambda^2 \left( B^2 - A^2 \right)}{
3 \left( A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t) \right)^2}. \eqno(12)
$$

Смесь Шварцшильда, Фридмана и де Ситтера. $F(\alpha, \beta) = A \alpha + B \beta \mp \sqrt{2 k M}$
$$
V = \frac{1}{A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t)} \left( \pm \sqrt{\frac{2 k M}{r}} +
\frac{2}{3} \lambda r \left( A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t) \right)
 \right).  \eqno(13)
$$
$$
G_{tt} - \frac{4}{3}\lambda^2 g_{tt} = 
\frac{4 \lambda^2 \left( (B^2 - A^2) \pm \frac{3}{2\lambda} \sqrt{\frac{2 k M}{r^3}}
\left( A \sinh(\lambda t) + B \cosh(\lambda t) \right)
  \right) }{3 (A \cosh(\lambda t) + B \sinh(\lambda t))^2 }.  \eqno(14)
$$

schekn в сообщении #1018007 писал(а):
Распишите ТЭИ. В той координатной системе, в которой вы решаете задачу.

$$
T_{\mu \nu} = \varepsilon \; U_{\mu} U_{\nu}
$$
$$
U_{\mu} = \left\{ 1, 0, 0, 0 \right\}, \quad U^{\mu} = \left\{ 1, V(t, r), 0, 0 \right\}.
$$
То есть у дважды ковариантного тензора энергии импульса отлична от нуля только одна компонента $T_{t t} = \varepsilon$.

В то же время у дважды контравариантного тензора энергии импульса кроме $T^{t t} = \varepsilon$ ещё отличны от нуля $T^{t r} = \varepsilon V$ и $T^{r r} = \varepsilon V^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение21.05.2015, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1523
SergeyGubanov в сообщении #1018161 писал(а):
Шварцшильд (при $\lambda=0$).

А откуда пыль в Шварцшильде (пусть даже и с лямбдой)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 08:54 
Аватара пользователя


10/12/11
1486
Москва
Geen в сообщении #1018202 писал(а):
А откуда пыль в Шварцшильде (пусть даже и с лямбдой)?

При получении Шварцшильда в учебниках делается серьезное предположение , что на бесконечности для островной системы метрика переходит в метрику Минковского. Не противоречит ОТО, что граничные условия могут быть другими, например, переход в пространство постоянной кривизны. Тогда мы получим де Ситтера. А в случае совмещения Фридмана и Шварцшильда вблизи одиночной массы Шварцшильд получился "слегка" нестатическим. Гравитационная масса зависит от времени.
Это, кстати, к вопросу о функциональном произволе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 11:05 
Аватара пользователя


14/11/12
1179
Россия, Нижний Новгород
Geen в сообщении #1018202 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #1018161 писал(а):
Шварцшильд (при $\lambda=0$).
А откуда пыль в Шварцшильде (пусть даже и с лямбдой)?
Классификация условная, от балды. Имеется в виду только то, что при $\lambda=0$ это решение пререходит в решение Шварцшильда.

Есть то же самое без пыли - формула (7).

schekn в сообщении #1018296 писал(а):
Гравитационная масса зависит от времени.
Я бы чуть по другому выразился -- гравитационный радиус $r_g(t)$ зависит от времени.

Уравнение для нахождения гравитационного радиуса (и внешнего горизонта событий, если он есть):
$$
V (t, r_g(t)) = \pm 1
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1523
Если я правильно понимаю, технически несложно добавить ещё и излучение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 14:26 
Аватара пользователя


14/11/12
1179
Россия, Нижний Новгород
Geen в сообщении #1018343 писал(а):
Если я правильно понимаю, технически несложно добавить ещё и излучение?
Попробовал добавить
$$
T_{\mu \nu} = 4 p \; U_{\mu} U_{\nu} - p \; g_{\mu \nu}, \quad U_{\mu} = \left\{1, 0, 0, 0\right\} \eqno(1)
$$
Оказалось, что для совместности "$r t$", "$r r$", "$\theta \theta$" и "$\varphi \varphi$" уравнений требуется $$
\frac{\partial p}{\partial r} = 0. \eqno(2)
$$То есть давление должно быть функцией только лишь времени $p(t)$.

В этом случае
$$
\dot{V} + \frac{1}{2r} \left( r V^2 \right)' = r \left( \frac{2}{3} \lambda^2 - 4 \pi k \, p(t) \right). \eqno(3)
$$
Далее, из уравнений $\nabla_{\mu} T^{\mu \nu} = 0$ следует
$$
\frac{\dot{p}(t)}{p(t)} = - \frac{4}{3 r} \left( 2 V + r V' \right). \eqno(4)
$$
Надо попробовать решить систему уравнений (3) - (4) или доказать, что она несовместна при $p \ne 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1523
SergeyGubanov в сообщении #1018382 писал(а):
доказать, что она несовместна при $p \ne 0$.

Ну, вообще говоря, есть же решение и для излучения в сопутствующих координатах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 16:04 
Аватара пользователя


14/11/12
1179
Россия, Нижний Новгород
При $\lambda=0$ решение есть
$$
V = \frac{r}{2 t}, \quad p = \frac{1}{32\pi k \; t^2}.
$$ Соответствует тому, что там обозначено "Вселенная излучения".

-- 22.05.2015, 16:27 --

При $\lambda \ne 0$ можно попробовать следующий анзац
$$
V = \frac{r}{2 f(t)}, \quad p = \frac{1}{32\pi k \; h(t)^2}. \eqno(1)
$$
Уравнения на $f(t)$ и $h(t)$:
$$
\frac{\dot{h}}{h} = \frac{2}{3f}, \quad \dot{f} = \frac{3}{4} + f^2 \left( \frac{1}{4 h^2} - \frac{4\lambda^2}{3} \right) \eqno(2)
$$Mathematica эту систему "решает", но ответ слишком велик чтобы написать его здесь.

(Кусочек ответа Mathematica)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Общая космологическая модель с плоским простр. сечением
Сообщение22.05.2015, 16:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1523
Ещё вопрос появился - что с однородностью пыли? - вроде бы хотелось, что бы на больших радиусах пыль была однородна, а получается, что "ЧД-слагаемое" убывает только как $r^{-3/2}$ (кажется, что это плохо).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group